==概述==

本系列文章研究成熟的有限元理论基础及在商用有限元软件的实现方式。有限元的理论发展了几十年已经相当成熟，商用有限元软件同样也是采用这些成熟的有限元理论，只是在实际应用过程中，商用CAE软件在传统的理论基础上会做相应的修正以解决工程中遇到的不同问题，且各家软件的修正方法都不一样，每个主流商用软件手册中都会注明各个单元的理论采用了哪种理论公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多没有具体的实现公式。商用软件对外就是一个黑盒子，除了开发人员，使用人员只能在黑盒子外猜测内部实现方式。

一方面我们查阅各个主流商用软件的理论手册并通过进行大量的资料查阅猜测内部修正方法，另一方面我们自己编程实现结构有限元求解器，通过自研求解器和商软A的结果比较来验证我们的猜测，如同管中窥豹一般来研究的修正方法，从而猜测商用有限元软件的内部计算方法。我们关注CAE中的结构有限元，所以主要选择了商用结构有限元软件中文档相对较完备的Abaqus来研究内部实现方式，同时对某些问题也会涉及其它的Nastran/Ansys等商软。为了理解方便有很多问题在数学上其实并不严谨，同时由于水平有限可能有许多的理论错误，欢迎交流讨论，也期待有更多的合作机会。

S4壳单元刚度矩阵研究。

Abaqus的壳单元刚度矩阵的理论基础都是Kirchihoff（薄壳）和Mindlin（厚壳）理论，本章重点研究S4壳单元，该单元基于Mindlin理论，在自编程序中根据Mindlin理论编写后和Abaqus结果对比，可以发现Mindlin和Abaqus差异很大，然后结合帮助文档猜测Abaqus的S4单元的内部修正方法。

S4单元修正方法总结

Abaqus的S4单元的薄膜效应刚度和面外弯曲刚度矩阵是完全积分，面外横向剪切刚度是减缩积分。

具体的刚度矩阵在Mindlin理论基础上的修正如下表：

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