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本系列文章研究成熟的有限元理论基础及在商用有限元软件的实现方式，通过
1） 基础理论
2） 商软操作
3） 自编程序
三者结合的方式将复杂繁琐的结构有限元理论通过简单直观的方式展现出来，同时深层次的学习有限元理论和商业软件的内部实现原理。
有限元的理论发展了几十年已经相当成熟，商用有限元软件同样也是采用这些成熟的有限元理论，只是在实际应用过程中，商用CAE软件在传统的理论基础上会做相应的修正以解决工程中遇到的不同问题，且各家软件的修正方法都不一样，每个主流商用软件手册中都会注明各个单元的理论采用了哪种理论公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多没有具体的实现公式。商用软件对外就是一个黑盒子，除了开发人员，使用人员只能在黑盒子外猜测内部实现方式。
一方面我们查阅各个主流商用软件的理论手册并通过进行大量的资料查阅猜测内部修正方法，另一方面我们自己编程实现结构有限元求解器，通过自研求解器和商软的结果比较来验证我们的猜测，如同管中窥豹一般来研究的修正方法，从而猜测商用有限元软件的内部计算方法。我们关注CAE中的结构有限元，所以主要选择了商用结构有限元软件中文档相对较完备的Abaqus来研究内部实现方式，同时对某些问题也会涉及其它的Nastran/Ansys等商软。为了理解方便有很多问题在数学上其实并不严谨，同时由于水平有限可能有许多的理论错误，欢迎交流讨论，也期待有更多的合作机会。
通用结构有限元软件iSolver介绍视频：
http://www.jishulink.com/college/video/c12884
从NASA在1964年推出Nastran算起，结构CAE软件已经发展了将近60年，虽然在60年内商用结构软件层出不穷，但最流行的通用结构CAE软件现在依然只有Nastran、Ansys和Abaqus三款软件，iSolver以前的结果精度完全对标Abaqus，线性和材料非线性与Abaqus计算结果对比精度已经没有误差，但在推广过程中，发现在线性问题上，客户只相信Nastran的结果，因为很多工程的校核规范和经验方法都以Nastran的结果为基准，如果换成其它软件，那么那些经验系数和校核公式都可能会修改，而这些修改还需要做大量的工程验证，这是客户承受不了的代价。客户改不了的习惯只能是自主软件改，我们的自主软件只是一个后来者，想要推广只能按客户要求修改精度，因此，iSolver开始兼容Abaqus和Nastran的精度，计算出的结果既可以对标Abaqus，修改设置后又可以对标Nastran，因此需要对Abaqus和Nastran的各方面的算法差异进行深入研究。如果是线性问题，那么Nastran和Abaqus的精度误差主要体现在单元算法、边界处理、MPC约束关系等，在2017年第二篇：S4壳单元质量矩阵研究文章中我们就曾经分析过Abaqus的S4壳单元和Nastran的Quad4壳单元质量矩阵的内部实现方式和差异，在这里主要研究Abaqus、iSolver与Nastran梁单元差异，由于这三款软件的梁单元的差异较多，我们分几篇文章来说明，本篇是Abaqus、iSolver和Nastran梁差异（3）-剪力和弯矩。
只有理解了Abaqus、iSolver和Nastran的梁单元的截面方向后，才能更好的理解和截面方向相关的物理量，剪力和弯矩的计算就是其中一个重要的应用。
梁的剪力和弯矩都是针对梁内部而言的，对有限元来说具体点就是积分点上的值。如果是一根梁的简单加载问题，剪力必然与外力相等，而弯矩由力矩平衡就可得到，也就是说剪力和弯矩的大小很容易求出来，难的是剪力和弯矩的方向的确定。
剪力和弯矩正方向怎么规定的，剪力和弯矩表示的是梁的特定一点的值，这个点的取法有两种，譬如下面例子（图a），可以取梁的左端（图b），也可以取右端（图c），那么另外一半对该点的剪力和弯矩的符号恰好相反：
所以在材料力学的理论中，剪力和弯矩的定义是取梁的这个点附近的一小段，如下：
取梁的一段，剪力如果导致梁顺时针旋转，那么为正，弯矩如果导致梁上部受压，那么为正。
材料力学的定义是2D平面的，有限元是三维空间的，到底把哪两个轴是xy并不一定，更主要的，有限元计算剪力弯矩还是以应力的积分求解的，压根与上面材料力学的正方向规定无关，所以有限元不能直接套用上面的方式。
取一个梁单元，长240，截面为10X5，沿x方向，材料为杨氏模量E= 1500000，泊松比=0.3。
取iSolver的局部坐标系和全局坐标系重合（由上篇文章梁截面方向可得只要设置n1=0,1,0即可）：
右端固支，左端加力（Ex1-20220602.fdb）：
取中间一小段AB, 那么A点受到左侧的剪力往下，B点受到右端剪力往上：
导致梁逆时针扭转,按材料力学定义是负值，但iSolver的剪力SF3得到的是正：
为了和传统大家想象中的悬臂梁一致，将上述例子的边界设在左端，力设在右端。
从有限元内部计算SF和SM的角度上来说，很简单，就是相应应力组成的剪力和弯矩的方向。
我们先看轴向力的定义，从轴向力的定义中找出一些简单的规律：
剪力也有类似关系，由下面公式给出：
在悬臂梁例子中，左端加约束，右端加力，此时的实际情况如下：
在实际例子中，剪应变是不同的，剪力由每个点的剪应变积分得到，剪应力与材料点所在截面的y方向坐标y1是二次关系。用图形化表示为下图右侧，随截面厚度方向是抛物线，中面最大，上下表面为0：
但在有限元中，真正用于计算的剪切应变认为在横截面内保持不变，所以，剪力的方向也可以通过剪应变的符号来判断。至于为何计算的剪应变和实际的有差异具体的说明可参考本系列文章中的下面这篇：
https://jishulink.com/content/post/1191641
有限元理论基础及Abaqus内部实现方式研究系列15： 壳的剪切应力
有限元中Timoshenko梁的剪切应变中定义如下：
简单起见，去掉扭转导致的剪切应变得到，即为剪切角：
有限元理论假设原来的截面弯曲后依然为平面，既然有限元要和实际情况近似，那么，悬臂梁受向下载荷时横截面应该处于初始截面和中性面法向中间，即下图：
查看本例子下方的轴向应力，发现是负：
查看弯矩Mz也为负，和理论一致。
对y方向加载：
（1） 对剪力：
y-的F，如上，得到的剪力SF为负
y+的F，显然，得到的梁截面的v为正，
为正，使得剪力SF为正
规律：对y方向加载有限元中剪力方向必然和加载方向相同。
（2）对弯矩
为了简单的总结悬臂梁的弯矩方向，需以梁方向和加载方向为参考来得到弯矩方向。由上可知，
对y-加载，弯矩是绕-z轴旋转。而-z轴也就是Mz方向可由梁方向t与加载方向F按右手正交坐标系规则叉乘得到。梁方向t由节点1指向节点2。如下图所示。
对y加载，y下半部的
为正，弯矩为正，弯矩是绕z轴旋转。
规律：对y方向加载，弯矩方向：
(1)类似，对z方向剪力：
其中：
显然前面一项
的绝对值>
的绝对值，所以只要看前面一项的正负就行，因为一段固支w=0，所以只要看加载端的位移，即Fz与加载端位移同号。
对z-加载，相同讨论可知w在末端为负，可知
和剪力都为负值，那么
剪切角
为负，那么沿y-方向旋转
z+加载，w在末端为正，剪力为正，与外力相同。
(2)对弯矩：
总结上述各种情况，一图表示如下：
在有限元软件中，梁在空间3维很多情况处于不同的角度不同的位置，也就是局部坐标系和全局坐标系不重合时，Abaqus、iSolver、Nastran这三个软件显示的都是局部坐标系下的值，但每个软件的处理还有细节上的差异。
上述剪力和弯矩讨论的的后处理截图中，大家有没有发现y方向剪力显示的是SF3，而不是SF2，弯矩Mz显示是SM2，而不是SM3，为什么？
这就和每个软件的剪力和弯矩的结果显示不同了。在Abaqus/iSolver中，剪力为SF和弯矩为SM，定义如下：
也就是说：
同时，可以发现SF和SM显示哪个值是在截面局部坐标系下，也就是SF/SM仅与载荷与局部坐标系的关系有关， SF/SM无需变化到全局坐标系下。
Nastran的官方说明如下：
由上篇文章可知，Nastran和Abaqus的界面上局部坐标系的y、z方向完全一致。所以，对三维空间同样的几何模型和加载方向可得：
譬如悬臂梁y方向加力，例子：Beam-OneMesh-T-ChangeCenter-B33。
局部坐标系如下：
在y方向加力，即在局部坐标系的z方向加力：
Nastran计算得到的剪力为z方向剪力：
Nastran得到的弯矩为y方向的弯矩：
想要查看Abaqus、iSolver、Nastran三款软件的剪力和弯矩方向，总共分三步：
第一步：确定加载位置
查加载是在梁节点1还是2？
第二步：确定符号
根据下图找到SF/SM的方向
忽视全局坐标系，查看该SF/SM方向在局部坐标系的正负，此时已经决定了SF/SM的符号。
第三步：确定显示量
对Abaqus或者iSolver软件，根据下面说明选择是SF2还是SF3，SM1还是SM2？
对Nastran，根据下面说明选择SF是y还是z，SM是y还是z？注意Nastran的y、z局部坐标系方向和Abaqus完全一致。
如果觉得上面的文字太复杂，也可以看一下视频的简要讲解和软件演示，地址如下：
https://www.jishulink.com/college/video/c12884 20理论系列文章39-梁单元差异(3)-剪力和弯矩
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