有限元理论基础与Abaqus内部实现研究：General梁单元刚度矩阵

==概述==

在CAE领域，从学校、实验室的自研算法到实现真正的商业化软件是一条无比漫长的道路。我们不研究有限元的新方法、新理论，只是研究商用有限元软件的实现方式。有限元的理论发展了几十年已经相当成熟，商用有限元软件同样也是采用这些成熟的有限元理论，只是在实际应用过程中，商用软件在这些传统的理论基础上会做相应的修正以解决工程中遇到的不同问题，且各家软件的修正方法都不一样，每个主流商用软件手册中都会注明各个单元的理论采用了哪种理论公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多没有具体的实现公式。

一方面我们查阅Abaqus软件手册得到修正方法的说明，另一方面我们自己编程实现简单的结构有限元求解器，通过自研求解器和Abaqus的结果比较结合理论手册如同管中窥豹一般来研究Abaqus的修正方法，从而猜测商用有限元软件的内部计算方法。在研究的同时，准备将自己的研究成果记录下来写成一个系列文章，希望对那些不仅仅满足使用软件，而想了解软件内部实现方法甚至是做自己的软件的朋友有些帮助。由于水平有限，里面可能有许多错误，欢迎交流讨论。

==General梁单元的刚度矩阵==

相对壳来说，在实际应用过程中，商业软件对梁的修正方式相对较少，如果自己编程序，采用这些修正方式可以得到和商业软件完全一致的刚度矩阵，如果刚度矩阵完全一致，那么对任何的算例都可以得到和商业软件完全一致的结果了。

实际的梁都是有截面形状的，商用软件分析时都采用两步走的形式：

1）   第一步：通过这些截面形状类型和参数得到构建梁单元所需的基本截面属性参数，譬如矩形面积=长*宽等。

2）   第二步：利用上面得到的截面属性参数组成梁单元的刚度矩阵。

相对应的，一般商用软件的梁都有两类：

1）   一类是已知截面属性参数的General梁，在Abaqus中创建梁时选择General就是General梁。

2）   另一类是已知截面形状类型和几何尺寸的Geometry梁，在Abaqus创建梁截面时选择除General外的其它选项都是Geometry梁。

本篇先讨论General梁单元的刚度矩阵的基本理论和Abaqus的修正方式，Geometry梁的计算方法只是比第一类梁多了一步怎么从截面几何参数得到截面属性参数，当然针对不同形状类型，Abaqus也做了许多的修正，将放到下一篇中讨论。

本文首先简单介绍梁单元的基本理论，分析了每一部分刚度的来源，并研究了Abaqus中General梁的B31单元的刚度矩阵的修正方式，采用这些修正方式可以得到和Abaqus完全一致的刚度矩阵，自研软件的正确性证明是非常困难的，无论你测试多少标准算例或者和试验结果对比，都很难让用户踏实的相信你的结果和商业软件是一致的，但如果一个模型仅有General梁组成，那么无论这个模型多么的复杂，我们一般都可以得到和Abaqus完全一致的分析结果。最后我们使用了一个简单的算例综合验证，针对该算例我们对比采用了同样修正的自编程序iSolver和Abaqus的结果，可以发现结果如预期的一样，没有任何误差。

==演示视频==

https://www.jishulink.com/college/video/c12884?chapter=1

梁的静力分析结果校核视频演示任意分段梁的静力分析，证明iSolver的分析结果和Abaqus没有误差，有两个算例：Generalized梁和L型梁。

==总结==

General梁的B31单元的刚度矩阵在Timoshenko梁理论基础上的修正如下表：

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