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1. 待求问题及其微分方程
为了验证我们UDS这种方式的正确性，我们求解温度偏微分方程，然后和Fluent自带的温度求解器得到的结果进行对比，来验证UDS的正确性。
我们模型使用二维模型，对于二维笛卡尔坐标系，能量方程为：
上面的方程来自百度百科：流体力学的能量方程_百度百科
上面方程的形式不是我们熟悉的形式，下面我们对其进行变形，转换为标准的形式。div表示散度，grad表示梯度，u表示矢量u。
展开来写的话，二维形式：
写成标准输运形式：
和Fluent提供的标准输运方程对比
变量即是T，扩散系数为k/cp，其中k为导热系数，cp为定压比热容。S为源项，我们这里可以忽略。
注：
a. 非常重要的一点，通过上面的推导，我们发现UDS方程中的扩散系数Гk和传热学中的扩散系数(热扩散系数α或者质量扩散系数D)并不是同一个概念，
b. Гk应该为ρα或者ρD，这可能是一些同学的模拟数据和文献数据对不上的原因。
2. 确定UDS的各项
能量方程：
Fluent提供的标准输运方程
对比这两个方程，我们会发现两个方程几乎没有差别。
瞬态项相同：
对流项相同：
唯一有区别的是扩散项，扩散项的系数需要设置
和标准输运方程完全相同的项不需要我们进行任何的设置，保持默认即可。本例中我们需要设置的只有扩散项的扩散系数。
注：如果是稳态计算，则不存在瞬态项
3. UDS方程需要设置的项
UDS有很多项，当我们的偏微分方程和标准输运方程的某些项相同时，自然不需要过多设置，但即便是一些项不相同，我们也不需要全部设置。我们只需要设置部分的参数即可。
注：a. 当非稳态项和对流项与标准输运方程形式完全相同时，Fluent提供了默认的设置，我们只需要选择即可，而不需要编写UDF。
非稳态项的标准形式
对流项的标准形式
b. 对于扩散项，则必须设置扩散系数，对于传热来说，UDS扩散系数为
4. Fluent UDS设置
4.1 读取case
打开Fluent-2D，读取文章末尾的Chapter73.cas文件
4.2 UDS界面
单击User-Defined-Scalars，打开User-Defined Scalars界面
Number of User-Defined Scalars：设置为1，表示设置一个UDS即导入一个输运方程。如果需要求解两个输运方程，需要设置为2
UDS Index：表示当前设置的UDS序号。如果我们有多个UDS方程需要设置，那么这里需要小心。
比如我们有三个UDS方程，当我们需要设置第一个方程的各项时，需要将UDS Index更改为0；同理需要设置第二个方程时，需要将UDS Index更改为1。
Solution zone：求解域，表示将UDS方程应用在的计算域，如果我们的计算域有多个，这里需要选择设置。
Flux Function：对流项通量，如果我们的方程和标准方程形式不同(即通量不是ρu)，需要通过UDF编程设置。如果和标准方程形式相同，直接选择mass flow rate即可，表示ρu
Unsteady Function：瞬态项，当case为瞬态时，UDS界面会出现Unsteady Function，表示瞬态项，如果方程和标准方程形式不同，需要通过UDF编程设置。如果和标准方程形式相同，直接选择default即可。
对于我们的case，我们是稳态问题，没有瞬态项；同时对流项形式和标准形式相同，因此Flux Function选择Flux Function。这样我们已经设置好了方程的两项。
4.3 扩散项设置
扩散项的设置不在UDS界面。实际上扩散项只需要设置扩散系数即可，因此需要在材料属性界面设置扩散项。
Materis-air，双击打开air属性界面。当我们打开UDS后，材料属性会多出来UDS Diffusivity属性
UDS Diffusivity：即UDS扩散系数。单位为kg/(m*s)。传热学中的热扩散系数α单位为m2/s，乘以密度ρ(kg/m3)后，量纲刚好相符。
单击Edit后会出现下面的选项
User-defined：通过UDF来设置扩散系数，此处不提。
defined-per-uds：设置每个UDS的扩散系数。
当有多个UDS时，需要给每个UDS方程设置扩散系数。选中UDS-0，表示设置第一个UDS的扩散系数。
我这里之所以出现UDS-0和UDS-1，是因为我把UDS个数设置为2个，只是演示需要。我们只需要设置一个UDS即可。
Coefficient：下面有很多选项，其实就是扩散系数的设置形式。和其他物性参数类似。
本例为了和Fluent温度计算结果对比，需要将UDS扩散系数设置为k/cp。为了出现导入系数和比热容两个参数，需要打开能量方程。
注：这里的流动设置为层流，如果设置为湍流的话，扩散系数需要额外加上湍流扩散系数。
打开air材料属性
可以看到导入系数为0.0242，比热容为1006.43，因此UDS扩散系数为2.4045e-5
至此，我们UDS方程的各项都已经设置完成。接下来进行边界条件设置即可。
4.4 边界条件设置
Axis：symmetry对称边界
Inlet：速度入口velocity inlet；为了保证层流流动Re<2000，设置速度为U*d/μ<2000，可得到U<0.024m/s，设置U=0.01m/s。空气温度为280K。
UDS边界条件：由于UDS方程变量为温度，因此入口UDS边界设置280K.
注：User-Defined Scalar Boundary Condition：有两个选项
a. Specified Flux：这里的Specified Flux比较复杂，和Heat Flux不完全相同。
简单说明：Heat Flux即，
当三维时可写成，其量纲与相同，为W/m2，而Specified Flux 的定义为
其中为fluent中的扩散系数，单位kg/m·s。详细内容此处掠过
当UDS要求解的标量为温度时对第二类边界条件，已知Heat Flux，Specified Flux=Heat Flux/cp。
b. Specified Value：UDS值，直接指定边界处UDS待求变量的值。这里即280
Outlet：pressure outlet压力出口，回流温度280K
UDS值：这里需要选择Specified Flux，设置值为0。为什么需要这样设置呢？？
这是因为这里的UDS值并不是回流的值，而是outlet边界的UDS值。如果这里设置为Specified Value=280，那么出口处的UDS值必等于280，与Fluent温度边界条件不符。
设置为Specified Flux=0，表示出口处是绝热的，UDS值根据计算得出。
Wall：wall壁面，壁面温度为340K。UDS设置为Specified Value=340K
4.5 计算设置
Solution Methods
压力速度耦合选择Coupled---Pseudo Transient，可大大加快稳态计算的收敛速度
Solution Initialization：标准初始化，Compute from选择inlet，单击Initialize
Run calculation：迭代步设置为1000
4.6 求解结果对比
温度云图对比
Y=0.7m温度曲线对比
无论云图还是曲线图都和Fluent自带的求解器相符，这也说明我们UDS设置的正确性。Specified Flux的正确性大家可自行验证
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