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1882年，年仅25岁的德国天才物理学家赫兹发表了关于接触力学的著名文章《关于弹性固体的接触（On the contact of elastic solids）》，系统地阐述了两物体之间接触面上所传递的压力分布，以及它所引起的垂直于接触面的弹性位移在接触区内、外的关系。另外，赫兹在这篇论文中提出了有关弹性体接触的理论公式——赫兹公式。
赫兹
海因里希·鲁道夫·赫兹是德国天才物理学家，毕业于柏林大学，师承古斯塔夫·基尔霍夫（德国物理学家，在电路、光谱学的基本原理有重要贡献）和赫尔曼·范·亥姆霍兹（能量守恒定律的创立者）。
赫兹在波动方程、光电效应和接触力学等领域都做出了杰出的贡献，尤其是他于1888年首次通过实验证明了电磁波的存在，成为了近代科学史上的一座里程碑，开创了无线电电子科学技术的新纪元。
正当人们对他寄以更大期望时，他却于1894年元旦因血中毒逝世，年仅36岁。为了纪念他的功绩，人们用他的名字来命名各种波动频率的单位—赫兹（Hz）。频率也是国际单位制中频率的单位，它是每秒中周期性变动重复次数的计量。
图为赫兹及夫人伊丽莎白
赫兹公式是研究疲劳、摩擦以及任何有接触体之间相互作用的基本公式。接触理论指出：接触表面上所承受的压应力是处处不同的，其分部呈半椭圆柱形。初始接触线处压应力最大，以此最大压应力代表两零件间接触受力后的应力。
赫兹公式也是基于一定的假设，其作出的假设如下：
用a表示接触区的有效尺寸，用ρ表示曲率半径，用R表示每个物体的有效半径，用l表示物体横向和深度两方面的有效尺寸，则赫兹理论中做出的假设可以简单表述成：
1. 表面都是连续的，并且是非协调的：a〈〈 ρ；
2. 接触尺寸远小于接触物体尺寸；
3. 小应变；
4. 每个接触物体都是线弹性的，服从胡克定律；
5. 接触物体间摩擦力为0。
为了对赫兹公式的计算结果和ANSYS的计算结果进行对比，我们选择以两横截面直径为100mm、b为100mm， 泊松比为0.3、弹性模量为200Gpa的 长圆柱体为例，假设外载F=20kN，分别基于 赫兹公式和 ANSYS软件计算一下接触面面半宽和最大接触应力：
一、基于赫兹公式的计算：
为了计算方便，此处笔者将赫兹公式编制成了一个简单的Python小程序，代码及计算结果如下：
根据计算结果我们发现，该问题中两物体的接触面半宽为0.2407mm，远小于接触物体的结构尺寸，因此 符合赫兹公式的假设。
二、基于ANSYS软件的计算：
使用ANSYS求解该问题时，我们从以下几个方面入手：
1. 确定分析类型：根据例题所示结构，确定分析类型为 静力学分析；
2. 确定单元类型：两长圆柱体的分析计算，为了降低计算量，可使用1/4的平面应变模型计算（具体选用规则请看本公众号《ANSYS与材料力学之轴向拉伸和压缩（二）》）。
Step1
平面模型建模
在保证精度的前提下，为了降低计算量，本次分析使用1/4的平面模型，建模方式如下：
Step2
建立分析模块
打开Workbench，选择Static Structural模块，并传入上一步建立的几何模型。
Step3
平面几何设置
在Project Schematic中的空白处点击右键，选择Properties，打开Properties of Project Schematic。单击项目中的A2（Geometry）栏，在Propertiesof Project Schematic A2: Geometry中将AnalysisType切换为2D。
Step4
材料设置
为了保证与理论计算输入参数的一致性，本次分析使用默认的 结构钢材料（弹性模量为200000MPa，泊松比为0.3）。
Step5
平面分析设置
在结构树中点击Geometry，将Details of Geometry中的2D Behavior切换成Plane Strain（平面应变）。
Step6
轴对称设置
由于我们建模的时候使用了1/4的模型，所以我们需要在对称轴处设置对称关系。
建立一个轴对称区域，选择上下两个平面模型的对称轴，并将对称法向设置为x轴。
Step7
接触设置
1. 接触边和目标边分别选择两段圆弧边；
2. 接触类型选择Frictionless（无摩擦接触）；
3. 接触算法选择Aaugmented Lagrange（增广拉格朗日算法）；
4. 法向刚度因子设置为20。
Step7
网格划分
1. 全局网格尺寸设置为2mm，一阶单元；
2. 使用影响球对接触位置进行局部加密。此时我们需要在要局部加密的位置建立一个局部坐标系。
3. 由于我们计算出的接触面半宽为0.2407mm，因此我们把影响球半径设置为0.5mm，网格尺寸设置为0.01mm，其余保持默认。
Step9
求解设置
1. 打开自动时间步；
2. 时间步类型选择 Substeps（子步）；
3. 初始子 步设置为 50；
最小子 步设置为50；
最大子步设置为100。
Step10
约束设置
设置底边为 固定约束。
Step11
载荷设置
理论计算时载荷为20kN，我们现在使用的是平面应变模型，因此需要对载荷进行一定的换算。
此处笔者使用的是 Pressure加载，具体的换算方法是：
Pressure = F /（圆柱直径*圆柱长度）
= 20000 /（100*100）
= 2MPa
Step12
求解及后处理
在结果中插入 接触工具Contact Tool，提取 接触压力Pressure（ 赫兹公式中的接触应力），可以看出，计算结果为 528.56MPa，与赫兹公式解出的 528.9923MPa几乎完全一致。
对于接触面半宽的提取，我们可以在ANSYS APDL中实现，具体步骤如下：
Step13
建立Workbench与APDL的连接
注意：如果在Workbench的分析中使用了上述 Step6中的轴对称条件，在建立连接时，软件会报错，错误类型如下图所示。解决办法是去掉 Step6， 设置约束时在对称边上建立无摩擦约束。
Step14
查看接触压力分布
在通用后处理的Results Viewer中，显示接触压力结果。我们发现接触部分的接触压力的确呈半椭圆分布。
Step15
查看接触面半宽
笔者查看接触面半宽的方式是： 使用DISTNP（N1,N2）函数测量最大接触压力节点和最小接触压力节点的距离。通过接触压力的分布图，我们找到最大接触压力节点为3141节点，最小接触压力节点为3227节点。我们在命令行中输入b = DISTND（3141,3227），命令输出窗口即显示b的值为 0.2488。
对比使用赫兹公式计算出的接触面半宽0.2407mm，ANSYS计算的接触面半宽0.2488mm， 误差为3.4%，也是可以接受的。
至此，本文完。
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