ANSYS声场分析的理论依据详解

声场的有限元分析在许多声音设计领域得到了广泛应用，由此产生了一些相关的声学分析软件如SYSNOISE,ACTRAN等。不过这种分析在ANSYS的历史版本中并没有引起足够的注意，提供的相关支持也很少。所以笔者在遇到声场分析时，几乎是首先就把ANSYS排除在外。

但是这种局面在ANSYS15中得到了改观。在ANSYS15中，声场分析第一次被提到了主角的位置，而占据了重要地位。这一点可以从其在帮助中的位置变化感受得到。

在ANSYS14.5的APDL帮助中，声场分析是作为流体分析指南中的一个分支给出来的，帮助中的内容十分简单，而且只有三个例子。

而到ANSYS15的APDL帮助中，声场分析第一次提升到最高级别，见下图

该分析指南展开后，细节如下图

可见，声场分析的各项已经十分详尽，而且其例子大幅度增加，从14.5版本的3个简单例子突变到14个例子。

笔者仔细研读了其帮助内容，感觉15.0的ANSYS已经能对声场分析提供较好的帮助了，所以决定从其他声场分析软件中转移到ANSYS中来。

要用好ANSYS的声场分析部分，第一件事情，是弄明白其理论基础。这一点在批判性思维里面称为隐含假设。只有弄清楚了隐含假设，我们才能对一个结论的根据有清晰的理解，才能真正做好有限元分析。毕竟ANSYS就是基于上述理论进行编程而形成的专业有限元软件。

本篇博文主要是对ANSYS的声场分析理论部分帮助进行了翻译，并在局部地方加入了自己的评论。希望这部分内容对大家学习ANSYS的声场分析有帮助。

1.控制方程

对于没有结构参与的纯声场而言，其控制方程主要包含：NS方程和连续性方程。

（1）连续性方程

其表达式如下

（1-1）

其中，

_{vx, vy 和 vz ：分别是X,Y,Z三个方向的速度分量；}

ρ = 密度

x, y, z = 全局的笛卡尔坐标

t = 时间

连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表示。

（2）NS方程

其表达式如下

（1-2）

这里，

_{gx, gy, gz = 重力加速度的三个分量}

ρ = 密度

_{μe = 有效粘度}

_{Rx, Ry, Rz = 分布阻力}

_{Tx, Ty, Tz =粘性损失项}

NS方程描述的是粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。

（3）简化NS方程和连续性方程得到的声波方程

基于下面的两个假设

* 流体是可压缩的（密度随着压力的改变而改变）

* 没有平均流动

则NS方程和连续性方程简化为声波方程如下

（1-3）

这里

_{ρo = 是平均流密度}

_{c = 是流体介质中的声速， 其大小是 其中K是流体的体积模量}

μ = 流体的动力粘度

p = 声压，它是坐标及时间的函数

Q = 连续性方程的质量源

t = 时间

《评论》

由上述结论可以知道

* 声波方程是通过NS方程和连续性方程简化而得到的。

* 声波方程的基本变量是声压。

* 流体密度，声速，动力粘度是进行声场分析时需要输入的三个与材料相关的物理量。

（4）亥姆霍兹方程

当压力随时间做简谐变化时，上述声波方程可以演变成亥姆霍兹方程

（1-4）

上述方程中

ω = 2πf

f = 声压的振动频率

2.有限元方程

使用伽辽金方法对声波方程进行离散得到的有限元方程如下：

（2-1）

式中

w=试函数；

_{dv = 声域ΩF的体积微分；}

ds = 声边界域ΓF的面微分；

其它变量的含义见前面方程中所述。

根据动量守恒方程，声场边界的法向速度可以表述为：

（2-2）

将（2-2）代入到（2-1）中，得到声波方程的弱形式

（2-3）

即把（2-1）中方程左边的第4,5项用方程（2-3）中的第4项进行了替换。替换以后，方程中包含了边界上速度的法向分量。第4项中免积分内部包含有法向速度对于时间的偏导数，这是法向加速度的含义。于是进一步替代如下

（2-4）

即把法向加速度用位移对于时间的二阶导数，然后在法线方向投影而得到。

将（2-4）代入到（2-3）中，即用它替换（2-3）中方程左边的第4项，结果如下：

（2-5）

此即声波的有限元方程。

可见，在上述方程中

在域内，变量是声压；而密度，声速，动力粘度是三个基本材料参数；质量源也参与其中。

而在边界上，涉及到流体的位移。

3.矩阵表述

方程（2-5）中包含了流体压力和结构位移分量，这是独立的变量。通过引入形函数，得到任一节点的压力和位移的表达式

（3-1）

此即把任意一个点的压力和位移用单元节点的压力和位移来表述。其中

{N} = 压力的单元形函数

{N'} = 位移的单元形函数

_{{Pe} = 节点压力矢量}

_{{ue} = {uxe},{uye},{uze} = 节点位移矢量}

这样，上述压力和位移的相关导数项可以表述如下

（3-2）

将（3-1）（3-2）代入到（2-5）中，得到

（3-3）

式中，

{n} = 流体边界的外法线矢量

{q} = 节点质量源矢量

【评论】

可见，方程左边有4项，右边有2项。

其中

左边第1项：包含的是压力的二次导数

左边第2项：包含的是压力的一次导数

左边第3项：包含的是压力本身

左边第4项：包含的是边界的节点位移的两阶导数，实指节点加速度

右边第1项：节点质量源的一阶导数

右边第2项：节点质量源本身

将上述方程（3-3）进一步写成

其中

它是声流体质量矩阵

它是声流体阻尼矩阵

它是声流体刚度矩阵

它是声流体边界矩阵，

是声流体载荷矩阵。

经过上述改装以后，声场的矩阵形式方程具有了与结构分析很相似的形式。

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