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数据结构之AVL树：原理、操作与应用详解

阅读数 25

题目：

编写函数，计算AVL树的高度，要求说明该函数是所有算法中最优的
编写函数，返回AVL树中距离根节点最近的叶节点的值

代码：

#include <iostream>

using namespace std;

template<class T>

struct Node {//AVL树节点

T data;

Node* lchild;

Node* rchild;

int height;//平衡因子

Node(const T& e, Node* lc, Node* rc, int h = 0)

:data(e), lchild(lc), rchild(rc), height(h) {}

};

template<class T>

class AVLTree {

private:

Node<T>* root;

void insert(const T& x, Node<T>*& t);//插入

void remove(T e, Node<T>*& t);//删除

void set_empty();//清空

public:

AVLTree() {

root = NULL;

}

~AVLTree() {

set_empty(root);

}

bool is_empty();

void set_empty(Node<T>* t);

T find_min(Node<T>* t);

T find_max(Node<T>* t);

int get_height(Node<T>* t);

Node<T>* get_root();

void insert(const T& x);

void rotate_right(Node<T>*& t);//LL型右单旋

void rotate_left(Node<T>*& t);//RR型左单旋

void right_left(Node<T>*& t);//RL型先右后左旋

void left_right(Node<T>*& t);//LR型先左后右旋

void show_smaller(Node<T>* t);

void show_bigger(Node<T>* t);

void remove(T e);

int tree_height(Node<T>* t);

void get_near(Node<T>* t);

};

template<class T>

bool AVLTree<T>::is_empty() {//判断是否为空

return root == NULL;

}

template<class T>

void AVLTree<T>::set_empty(Node<T>* t) {//清空()递归实现

if (t != NULL) {

set_empty(t->lchild);

set_empty(t->rchild);

delete t;

}

template<class T>

void AVLTree<T>::set_empty() {

this->set_empty(root);

}

template<class T>

int AVLTree<T>::get_height(Node<T>* t) {

return t == NULL ? -1 : t->height;

}

template<class T>

Node<T>* AVLTree<T>::get_root() {

return root;

}

template<class T>

T AVLTree<T>::find_max(Node<T>* t) {//最大值最靠右

if (t->rchild == NULL)return t->data;

else return find_max(t->rchild);

}

template<class T>

T AVLTree<T>::find_min(Node<T>* t) {//最小值最靠左

if (t->lchild == NULL)return t->data;

else return find_min(t->lchild);

}

//从根节点开始将key与节点值比较，如果key小于节点值，进入左子树；如果key大于节点值，进入右子树；直到找到或子树为空停止（同BST）

template<class T>

void AVLTree<T>::insert(const T& x, Node<T>*& t) {

if (t == NULL) {

t = new Node<T>(x, NULL, NULL);//插入后只有一个根节点

}

else if (x < t->data) {//小的值进入左子树（递归实现）

insert(x, t->lchild);

if (get_height(t->lchild) - get_height(t->rchild) == 2) {//插入后不平衡旋转

if (get_height(t->lchild->lchild) > get_height(t->lchild->rchild))

rotate_right(t);//LL型

else left_right(t);//LR型

}

else if (x > t->data) {//大的值进右子树

insert(x, t->rchild);

if (get_height(t->rchild) - get_height(t->lchild) == 2) {

if (get_height(t->rchild->lchild) > get_height(t->rchild->rchild))

right_left(t);//RL型

else rotate_left(t);//RR型

}

//cout<<get_height(t->lchild)<<" "<<get_height(t->rchild)<<endl;

t->height = max(get_height(t->lchild), get_height(t->rchild)) + 1;

}

template<class T>

void AVLTree<T>::insert(const T& x) {

insert(x, root);

}

template<class T>

void AVLTree<T>::rotate_right(Node<T>*& t) {//LL型

Node<T>* p = t->lchild;//t是不平衡的节点，p是其左孩子

t->lchild = p->rchild;//旋转 t的左孩子变为p的右孩子

p->rchild = t;//p替代t的位置旋转完成

//旋转后结点位置变化，需要更新树高（很重要！！！）

t->height = max(get_height(t->lchild), get_height(t->rchild)) + 1;

p->height = max(get_height(p->lchild), t->height) + 1;

t = p;

}

template<class T>

void AVLTree<T>::rotate_left(Node<T>*& t) {//RR型(和LL是镜像)

Node<T>* p = t->rchild;

t->rchild = p->lchild;

p->lchild = t;

t->height = max(get_height(t->lchild), get_height(t->rchild)) + 1;

p->height = max(get_height(p->rchild), t->height) + 1;

t = p;

}

template<class T>

void AVLTree<T>::left_right(Node<T>*& t) {//LR型

rotate_left(t->lchild);//先对A的左子树根结点RR旋转

rotate_right(t);//再对A结点LL旋转

}

template<class T>

void AVLTree<T>::right_left(Node<T>*& t) {//RL型与LR镜像

rotate_right(t->rchild);

rotate_left(t);

}

* 1.删除叶子结点。操作：直接删除，然后依次向上调整为AVL树。

2.删除非叶子节点，该节点只有左孩子。操作：该节点的值替换为左孩子节点的值，然后删除左孩子节点。

【左孩子节点为叶子结点，所以删除左孩子节点的情况为第1种情况。】

【为什么左孩子节点为叶子节点，因为删除节点前，该树是AVL树，由AVL树的定义知，每个节点的左右子树的高度差的绝对值<=1,

由于该节点只有左孩子，没有右孩子，如果左孩子还有子节点，那么将不满足每个节点的左右子树的高度差的绝对值<=1，所以左孩子节点为叶子结点】

3.删除非叶子节点，该节点只有右孩子。操作：该节点的值替换为右孩子节点的值，然后删除右孩子节点。

【右孩子节点为叶子结点，所以删除右孩子节点的情况为第1种情况。】【为什么右孩子节点为叶子节点？答案和第二种情况一样】

4.删除非叶子节点，该节点既有左孩子，又有右孩子。操作：该节点的值替换为该节点的前驱节点（或者后继节点），然后删除前驱节点（或者后继节点）。

【前驱结点:在中序遍历中，一个节点的前驱结点，先找到该节点的左孩子节点，再找左孩子节点的最后一个右孩子节点。向左走一步，然后向右走到头。

最后一个右孩子节点即为前驱节点】【后继节点：在中序遍历中，一个节点的后继结点，先找到该节点的右孩子节点，再找右孩子节点的最后一个左孩子节点。

向右走一步，然后向左走到头。最后一个左孩子节点即为前驱节点】

template<class T>

void AVLTree<T>::remove(T e, Node<T>*& t) {//删除节点

if (t == NULL)return;

if (e < t->data)

remove(e, t->lchild);

else if (e > t->data)

remove(e, t->rchild);

else {//找到要删除元素了

if (t->lchild != NULL && t->rchild != NULL) {//元素找到了并且左右子树都不为空(非叶子节点)

Node<T>* p = t->rchild;

while (p->lchild != NULL)p = p->lchild;//将要删除的节点用右子树中的最小节点代替

t->data = p->data;

remove(p->data, t->rchild); //递归删除该最小节点

}

else {//元素找到了并且左右子树有一个为空

Node<T>* p = t->lchild == NULL ? t->rchild : t->lchild;//让p指向t的非空子树

// cout<<t->data<<endl;

delete t;

t = p;//用孩子节点顶替原来位置

return;

}

//删除完节点之后要更新高度(很重要！！！)//和插入一样

if (get_height(t->lchild) - get_height(t->rchild) == 2) {

if (get_height(t->lchild->lchild) > get_height(t->lchild->rchild))

rotate_right(t);

else left_right(t);

}

else if (get_height(t->rchild) - get_height(t->lchild) == 2) {

if (get_height(t->rchild->lchild) > get_height(t->rchild->rchild))

right_left(t);

else rotate_left(t);

}

t->height = max(get_height(t->lchild), get_height(t->rchild)) + 1;

}

template<class T>

void AVLTree<T>::remove(T e) {

remove(e, root);

}

template<class T>

int AVLTree<T>::tree_height(Node<T>* t) {//平衡因子(递归)

if (t == NULL)return 0;

int lh = 0, rh = 0;

lh = tree_height(t->lchild) + 1;

rh = tree_height(t->rchild) + 1;

return max(lh, rh);

}

template<class T>

void AVLTree<T>::get_near(Node<T>* t) {//因为高度差最大也就1，所以最后只需在高度差为1和为2的时候判断是否只向单边拓展即可

if (t == NULL)return;

if (t->lchild == NULL && t->rchild == NULL) {//是叶子节点了

cout << t->data << " ";

return;

}

int lh = 0, rh = 0;

lh = tree_height(t->lchild);

rh = tree_height(t->rchild);

if (lh == 1 && rh == 2) {

get_near(t->lchild);

}

else if (lh == 2 && rh == 1) {

get_near(t->rchild);

}

else {

get_near(t->lchild);

get_near(t->rchild);

}

template<class T>

void AVLTree<T>::show_smaller(Node<T>* t) {//从大到小

if (t != NULL) {

show_smaller(t->rchild);

cout << t->data << " ";

show_smaller(t->lchild);

}

template<class T>

void AVLTree<T>::show_bigger(Node<T>* t) {//从小到大

if (t != NULL) {

show_bigger(t->lchild);

cout << t->data << " ";

show_bigger(t->rchild);

}

int main() {

AVLTree<int> avl;

srand(time(NULL));

int tmp;

cout << endl << "-----插入随机数-----" << endl << endl;

for (int i = 0; i < 100; i++) {

tmp = rand() % 2333;

cout << tmp << " ";

avl.insert(tmp);

}

cout << endl;

int a[]={1,2,3,4,5,6,7,9,10};

for(int i=0;i<9;i++){

avl.insert(a[i]);

}

cout << endl << "-----从小到大输出-----" << endl << endl;

avl.show_bigger(avl.get_root());

cout << endl;

cout << endl << "-----从大到小输出-----" << endl << endl;

avl.show_smaller(avl.get_root());

cout << endl;

cout << endl << "-----树的高度-----" << endl << endl;

cout << avl.tree_height(avl.get_root()) << endl;

cout << endl << "-----删除最后一个插入的随机数-----" << endl << endl;

avl.remove(tmp);

avl.show_bigger(avl.get_root());

cout << endl;

cout << endl << "-----距离根最近的叶节点的值-----" << endl << endl;

avl.get_near(avl.get_root());

cout << endl << endl;

return 0;

}

免责声明：本文系网络转载或改编，未找到原创作者，版权归原作者所有。如涉及版权，请联系删

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