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摘要
本文通过对不同网格密度、不同单元类型的有限元力学模型计算结果与精确解的分析比较，探索研究单元网格划分与有限元求解精度的内在联系，为在保证有限元解满足工程实际精度要求的前提下，确定合理的网格密度，提高有限元分析效率进行了有益的探索。
关键词：有限元 网格划分密度求解精度
0 引言
有限单元法的基本思想是把一个连续体人为地分割成有限个单元，对通过节点连接的单元进行单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原来的结构。从数学的角度来看，有限元法是将一个偏微分方程化成一个代数方程组，并利用计算机求解的一种数值分析方法。它的分析过程可以分为建立力学模型(前处理)、计算及后处理三个阶段。其中，根据结构实际形状和实际工况条件建立有限元分析的计算模型，为有限元数值计算提供必要的原始输人数据，是整个有限分析过程的关
键。由于工程结构形状和工况条件的复杂性，要建立一个符合实际的有限元模型不仅需要考虑多种因素，而且输入数据的误差也将直接决定计算结果的精度。所以，其力学模型的正确性和求解精度就成为衡量有限元分析结果精确与否的重要指
标。对于有限元这样一种数值分析方法，在单元形状确定之后，当单元网格划分越来越细时，位移近似解将收敛于精确解。增加网格数量和密度，计算精度一般也会随之提高。但是，如果盲目地增加网格数量，将会大大增加单元网格划分时间及求解方程时间。有时还会因计算的累积误差反而会降低计算精度。所以，在实际工作中，如何划分网格才能既保证计算结果有较高的精度，又不致使计算量太大，一直困扰着许多分析人员。本文将通过对不同网格密度、单元类型的分析比较，确定出合理的网格密度，期望能为提高有限元求解精度提供参考依据。
1 有限元网格划分的指导思想
众所周知， 建立有限元力学模型的中心任务是进行单元网格划分和处理许多与之相关的工作，如结构形式处理、力学模型建立、单元特性定义、单元质量检查以及模型边界条件的定义等。有限元网格生成就是将实体模型离散成由节点和单
元组成的有限元力学模型。它的指导思想是进行总体模型规划，包括物理模型的构造、单元类型的选择、网格密度的确定等多方面的内容。有限元分析的精度和效率均与单元的密度和几何形状有着密切的关系。在网格剖分时，单元应满足以下要
求：
(i)一个单元的节点不能落人其他单元内部，单元边界上的节点均应作为单元的节点。
(ii)单元必须落在实体模型内部，不能落人外部，且单元集合边界应逼近实体模型的边界。(iii)单元应具有良好的形状，如正多边形或正多面体。
(iv)单元之间过渡相对平稳。由此可见，网格划分是建立有限元模型的重要环节，有限元模型的合理性很大程度上可以通过所划分的网格形式反映出来。目前，有限元网格剖分方法可分为拓扑分解法、结点连元法、网格模板法、映射法和几何分解法五种。在通用有限元分析软件中，广泛采用自动或半自动网格划分方法。但由于结构和网格生成过程的复杂性，划分出来的网格有时存在一些问题，如网格形状较差，单元和节点编号顺序不合理等，这些都将影响有限元分析的计算精度和计算时间，有时还需进行人工改进。
2 单元网格划分对求解精度的影响分析
有限元解的误差主要来自离散误差、插值误差(即逼近误差和边界误差)以及数值误差几个方面。其中，逼近误差指的是用有限尺寸的单元及单元插值函数代替精确解后产生的误差；边界误差则是在结构边界以直代曲引起的误差。另外，输人
数据不正确，也会导致较大的计算误差。就输人数据而言，单元的质量和数量对求解结果和求解过程影响较大，如果结构单元全部由等边三角形、正方形、正四面体、立方六面体等单元构成，则求解精度可接近实际值，但这种理想情况在实际工程
结构中很难做到。必须根据模型的不同特征，设计不同形状种类的网格，才能保证有限元分析的正确性，有效地改善网格的质量和求解精度。因此，评价一个有限元网格的优劣，应当从选择单元类型、单元网格划分的数量、网格密度(即疏密程
度)、单元阶次及网格质量几方面考虑。
2．1 单元位移模式对有限元分析精度的影响
有限元分析软件的精度主要取决于章元。在进行有限元分析时首先要选择合适的单元类型。在广泛应用的位移法中，4节点四面体单元每个节点的多项式位移模式为
形函数为
其中， i=l，⋯，4为常数，V为单元体积。10节点四面体单元的多项式位移模式为
基于自然坐标的形函数为
8节点六面体单元每个节点的位移模式为
形函数为
其中：
从以上分析可见，高阶单元的曲线或曲面边界能更好地逼近结构的边界曲线或曲面，高次位移函数能更好地逼近结构复杂的位移分布。单元的多项式位移插值函数阶次越高，精度越高，收敛速度也越快。因此，可选用高阶单元以提高计算精度。但是高阶单元节点较多，使用时应权衡计算精度和模型规模两个因素，处理好单元阶次和节点数量的关系。
2．2 低阶单元网格与高阶单元网格的比较
表1、表2给出的是应用Unigraphics程序采用全自动网格划分方法进行圆轴受纯扭转时的有限元计算结果。单元类型为4节点和10节点四面体三维实体单元。从表1可以看出，选用4节点四面体单元时，随着单元边长从55ram逐渐加密至30mm，有限元分析计算结果与精确解的相对误差逐渐从7．1 5％减小到2．51％，求解精度明显提高。但单元网格继续加密时，有限元力学模型的节点和单元数量增长很快，而求解精度增加很少。从提高工作效率的角度看，过密的网格密度，对提高求解精度意义并不大，换来的只是过长的求解时间这是很不经济的。
从表2计算结果可知，如果选择10节点四面体高阶单元，则较稀疏的单元网格也可获得较高的计算精度。而且，同等网格密度下，选用10节点四面体高阶单元的有限元计算结果要比选用4节点四面体单元有限元计算结果更精确。这说明10节点四面体高阶单元的收敛速度明显比4节点四面体常应变单元快得多。
2．3 四面体单元与六面体单元网格的比较
表3为应用MSC．MARC程序采用相同节点排序进行圆轴受纯扭转时半自动网格划分时的有限元计算结果。单元类型以8节点六面体单元为主体。从表中可以看出，当单元网格逐渐加密，节点数和单元数不断增加时，与精确解的相对误差可从3．71％减小到0．36％。它虽然提高了求解精度，求解时间也迅速增加。与表1、表2的计算结果相比较，相同的单元网格密度条件下，8节点六面体实体单元的求解精度在4节点四面体单元与10节点四面体单元之间。
3 单元网格质量的评价
一个高质量的单元网格划分，应当综合计算机容量、计算时间及工程实际中的精度要求等因素，来决定单元的大小及阶次，设定合理的网格数量和相对网格密度。选择高阶单元，网格密度可以相对稀疏一些。换句话说，在应力集中区域应采用
较密的网格，而对于其它应力变化平缓的区域，则采用较稀疏的网格，以减少网格数量，缩短求解时间。另外，在采用人工或半自动方法划分网格时，应注意网格几何形状的合理性。有些畸形网格形状是不允许的，它们会导致单元刚度矩阵为零或
负值，使有限元计算将会因网格质量太差出现致命错误而中止。单元大小的设定可参考模型简化后结构主要区域的最小边长。一般地说，单元网格质量评价一般可采用以下几个指标：
1) 单元的边长比、面积比或体积比以正三角形、正四面体、正六面体为参考基准。理想单元的边长比为1，可接受单元的边长比的范围线性单元长宽比小于3，二次单元小于10。对于同形态的单元，线性单元对边长比的敏感性较高阶单元高，非线性比线性分析更敏感。
2) 扭曲度：指单元面内的扭转和面外的翘曲程度。应尽量使单元接近正三角形、正四面体或正六面体，避免倾斜和翘曲。
3) 疏密过渡：网格的疏密主要表现为应力梯度方向和横向过渡情况。应力集中区域的网格应密度大一些。而对有限元分析影响较小的区域可逐渐平稳过渡到较稀疏网格。
4) 节点编号排布：节点编号对于求解过程中的总体刚度矩阵的元素分布、分析耗时、内存及空间有一定的影响。合理的节点、单元编号有助于利用刚度矩阵对称、带状分布、稀疏矩阵等方法提高求解效率。在手动或半自动划分网格时，特别应引起足够的重视。同时，要注意消除重复的节点和单元。
4 检测有限元求解精度的方法
在应用有限元程序解决工程实际问题的过程中，传统的对有限元计算结果正确性和精度的判断主要依据分析人员的经验，如通过看变形趋势是否与物理现象相一致，运用已有的分析经验和对该问题的了解，确定有限元结果是否达到精度，等等。显
然，这种方法带有一定的主观色彩。 相比较下，采用结果比较法或网格加密法更科学一些。
4.1 结果比较法
在进行有限元分析时，可根据经验设定一定的网格密度进行试算。检查并比较关键部位或应力集中部位的节点结果和单元形心结果。如果两者的值比较接近，则不必重新计算。否则，应进一步增加网格密度，重新计算。
4.2 网格加密法
对一个结构，先根据经验设定一单元网格密度进行试算，再对网格加密，比较两次的计算结果。如果两者数值上接近，则说明计算结果精度较好，单元网格密度合理。否则，则须进一步增加单元网格密度，重新计算。一般来说，对于精度高的单元来讲，使用数量不同的节点，计算结果很快就一致了。用“网格加密法”很快就能判断单元网格密度是否合适。
5 几点建议
为能有效地控制单元网格划分质量，提高有限元求解精度，通过上述研究，结合实际工作经验，有以下几点建议供进行网格划分时参考。
1) CAD软件中流行的实体建模包括基于特征的参数化建模和空间自由曲面混合造型两种方法。现有CAD软件实体造型功能已经大大超过了CAE软件。有些CAD实体模型对制造检测来说具备足够的精度，但对有限元网格划分来说却不能满足要求。很多情况下，CAD模型可能包含许多设计细节，如细小的孔、狭窄的槽，甚至是建模过程中形成的小曲面等。这些细节往往不是基于结构的考虑，保留这些细节，单元数量势必增加，甚至会掩盖问题的主要矛盾，对分析结果造成负面影响。因此，在将CAD几何模型导人CAE程序之前，首先应将CAD模型改造成适合有限元分析的网格模型。如果几何实体模型距有限元分析的要求相差太远时，也可利用CAD或CAE程序的造型功能修正几何模型。
2) 有限元分析软件单元库中都设有各种形式的单元。常用的单元类型包括：一维杆元及集中质量元、二维三角形、四边形元和三维四面体元、五面体元和六面体元。其边界形状可以是直线型、曲线型和曲面型。对于几何尖角处、应力应变变化较
大区域，有限元分析时应选择高阶次单元，并适当增加单元网格密度。这样，既可保证单元的形状，同时，又可提高求解精度、准确性及加快收敛速度。全自动划分网格时，优先考虑选用高阶单元。
3) 在网格划分和初步求解时，应做到先简后繁，先粗后精。由于工程结构一般具有重复对称或轴对称、镜象对称等特点，为提高求解效率，应充分利用重复与对称等特征，采用子结构或对称模型以提高求解效率和精度。随着有限元单元网格划分技术越来越完善，越来越自动化，自动自适应网格剖分技术得到了可喜的进展。网格自适应划分是在计算步中，升高不满足分析条件的低阶单元的阶次来提高分析的精度和效率。这种有效的误差估计和良好的自适应网格生成，可以使有限元分析在现有网格基础上，根据有限元计算结果估计计算误差、重新剖分网格和再计算的一个闭路循环过程。当误差达到预规定值时，自适应过程结束。它极大地提高了有限元求解精度和工作效率，降低劳动强度。
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