一个单元也能干大事之单元刚度初探

 本公众号将推出“一个单元也能干大事”系列文章,试图从最小的单元出发,来为初学者讲解一些有限元基本理论。该系列文章力争篇幅短小,简单通俗,深入本质,一看就懂,并且希望能跟读者讨论互动。

 一个单元能干什么?今天我们来研究一下四边形等参单元,试图带大家探讨一下它的单元刚度矩阵。来,先跟我一起玩个小游戏,放松一下。


 1个单元,4个点,8个位移,4条边,哇

 2个单元,8个点,16个位移,8条变,哇哇

 3个单元,12个点,24个位移,12条变,哇哇哇……

一个单元也能干大事之单元刚度初探的图1

关于四边形等参单元刚度矩阵的推导,一般有限元教材都有详细的介绍,这里就不再讨论。书看千遍,不如公式推一遍,公式推千遍,不如代码撸一行,我们直接上代码,进行计算。


一个单元也能干大事之单元刚度初探的图2

单元刚度矩阵如下,这是一个8*8的矩阵,我们来研究一下,该单元刚度矩阵的特性。

一个单元也能干大事之单元刚度初探的图3

 一、单元刚度矩阵是对称矩阵,即满足Kij=Kji

 二、单元刚阵主对角线元素恒为正值;因为主对角元素表示力的方向和位移方向一致,故总为正值。


三、我们计算一下刚度矩阵的行列式 
 


一个单元也能干大事之单元刚度初探的图4


  可以看到,行列式|K|=0,即单元刚阵是奇异阵,从物理意义上来解释,这是因为计算单元刚阵时没有对单元的节点加以约束,虽然,单元处于平衡状态,但容许单元产生刚体位移,故从单元刚度平衡方程不可能得到唯一位移解。
 


四、我们来计算一下刚度矩阵的特征值
 

一个单元也能干大事之单元刚度初探的图5

可以看到,矩阵共有八个特征值,其中有三个零特征值。你觉得这是偶然吗?不,冥冥之中自有天数。刚度阵的秩为5,说明刚度矩阵只有5行是线性无关的,需要约束其中的3个自由度,方程Ku=F才能求解。而约束3个自由度,就是为了消除3个刚体位移。



五、我们求一下单元刚度矩阵各行和各列的和,发现他们的值均为零,那么这是偶然吗,还是单元刚度矩阵的特性?这个问题就留给小伙伴们思考一下了。

一个单元也能干大事之单元刚度初探的图6


最后强调一下,书看千遍,不如公式推一遍,公式推千遍,不如代码撸一行。


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