非线性有限元的启蒙：基础概念与应用初探

在有限元分析中，我们经常会和非线性打交道，如材料非线性、几何非线性、边界非线性。非线性有限元一直是有限元中较为困难的一部分，在非线性有限元中我们经常碰到诸如牛顿-拉夫森迭代法，切线刚度阵等概念，今天贴主就简单的介绍一下非线性吧。

1、简单实例

首先看一个简单的弹簧杆件结构，如图所示，中间节点作用一个F的力，会产生一个位移v，

由静力平衡关系可得到

该方程为典型的非线性方程，对于这个方程，如果给定一个位移v就能求得F，如下图所示，从图中曲线可以看到非线性的含义了。图中不同k对应的曲线，可以看到k比较小时，杆内力起主要作用，呈现出几何非线性，K较大时，弹簧起主要作用，呈现出弹簧的线弹性。

2、牛顿迭代法

但是在实际中，我们往往是不知道位移v的，而是知道F，那么给定一个F，怎么求v呢？这时候牛顿迭代法就要上场了。牛顿迭代法的思想是将非线性方程线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解，具体操作如下：

牛顿迭代法图形解释

对于非线性方程f(x)=的迭代解法有如下格式

4、非线性有限元迭代格式

虽然上文只是简单的一维问题，但是我们可以把它当做位移法有限元的原型，对于一般有限元，离散平衡方程一般具有如下形式：

 对于试探解、一般有

 该方程的求解有如下形式

（1）直接迭代法

直接迭代法中要求K矩阵为u的显式函数，只适用于和变形历史无关的非线性问题。该迭代法每次迭代都需要对新的求逆，计算量较大，于是有了如下改进的的常系数矩阵方法

(2)牛顿-辛普森迭代法 newton-Paphson method

运用泰勒展开：

（切线刚度阵）

同理，也可以得到修正的Newton-Paphson 方法

牛顿迭代法一般具有较好的收敛性，但是对于一些从小被分在二班的非线性同学，他也有很大的局限性

比如对于这个问题，牛顿只好呵呵了

对于下面问题，牛顿直接哭晕在厕所，当然这种问题只有等我们的arc-length兄来解决了。

再来看看我们上面的问题：

蓝色曲线为精确解，红色点点为固定载荷增量下求得的位移，k=1000时，牛顿迭代法能够很好地跟踪载荷位移路径，得到所有的位移响应。而当k=100时，曲线有下降段，此时牛顿迭代法就没法得到这个区域的位移响应了。  

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