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极限分析假定结构所用材料为理想弹塑性材料。在某一载荷下结构进入整体或局部区域的全域屈服后，变形将无限制地增大，结构达到了它的极限承载能力，这种状态即为塑性失效的极限状态，这一载荷即为塑性失效时的极限载荷。
一、问题描述
轴的直径为D = 10 mm，长度L = 40 mm。假设材料为理想弹塑性材料，扭转剪切屈服强度200 MPa，弹性模量E = 200 GPa，泊松比μ = 0.3。计算圆轴扭转的极限扭矩。
二、塑性极限扭矩的解析解
参考文献：刘鸿文. 材料力学 II (第6版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 2017: 241-244.
三、剪切强度与第三、第四强度理论的关系
四、从不收敛的结果中识别塑性极限载荷
五、操作步骤
1．进入ANSYS
程序 → ANSYS → ANSYS ProductLauncher → 改变working directory到指定文件夹 → 在job name输入：file → Run。
2．定义单元属性
（1）单元类型：Main Menu >Preprocessor>Element Type >Add/Edit/Delete→Add→在左列表框中选择Beam，在右列表框中选择2 node 188→OK。
（2）横截面截面：Main Menu >Preprocessor>Sections >Beam >CommonSections →ID：输入1；Sub-Type：选择实心圆形截面；R：输入5；N：输入24；T：输入12 →Meshview →OK。单位采用mm、N和MPa。
（3）材料属性
①弹性模量和泊松比：Main Menu >Preprocessor>Material Props >Material Models →Structural → Linear → Elastic→Isotropic →EX：输入2E5；PRXY：输入0.3 →OK。
②理想弹塑性模型：见图3。Main Menu >Preprocessor>Material Props >Material Models →Structural →Nonlinear → 见下图→ 双击Bilinear（双线性）→ Yield Stress：输入346.41（第四强度理论的屈服强度）；Tang Mods：输入0（切线模量） →OK。
图3 理想弹塑性材料模型
3．建立模型
（1）定义节点：Main Menu >Preprocessor>Create >Nodes > In Active CS →依次输入2个节点坐标1(0,0,0)和2(0,0,40) →OK。
（2）创建直线：MainMenu> Preprocessor> Modeling> Create> Lines> Lines> Straight Line→依次拾取1和2，创建1条直线→OK。
4．划分网格
（1）设置线的单元属性：Main Menu >Preprocessor>Meshing >Mesh Tool →在Element Attributes下方选择Lines Set→ 拾取线1→OK→选择MAT：1；TYPE：1；SECT：1 →OK。
（2）设置单元尺寸：Main Menu >Preprocessor>Meshing >Mesh Tool →在Size Controls下方选择Global Set →SIZE：输入5 →OK。
（3）划分梁单元：Main Menu >Preprocessor>Meshing >Mesh Tool →Mesh：Lines → Mesh → Pick All。
（4）打开梁单元的单元形状：Utility Menu >PlotCtrls>Style >Size and Shape →[/ESHAPE]:勾选On。
（5）显示单元：Utility Menu > Plot> Element。
5．施加边界条件
（1）施加约束：MainMenu>Solution>Define Loads>Apply>Structural>Displacement>OnKeypoints → 拾取关键点1 → OK → Lab2：All DOF → Apply →拾取关键点2 → OK → Lab2：UX、UY、UZ、ROTX、ROTY → OK。
（2）保存模型：Utility Menu > Files> Save as → 输入M.db → OK。
6．按照载荷步依次求解
（1）第1载荷步
①施加载荷：MainMenu>Solution>Define Loads>Apply>Structural>Force/Moment>OnKeypoints→ 拾取关键点2 → OK → Lab：MZ，VALUE：输入39.270E3 → OK。
②非线性求解设置：见图4。Main Menu >Solution >AnalysisType >Sol'n Controls →Time at end of loadstep:输入1；Automatic time stepping（自动时间步长）：勾选ON；Number of substeps（载荷子步）：从上到下依次输入20，200，5；Frequency（写出结果频率）：选择Write every Nth substep（写出每N个子步） →OK。
图4 非线性求解设置
③求解：Main Menu > Solution>Solve >Current LS →File >Close →Solve Current Load Step →OK →Solutionis done →Close。
（2）第2载荷步
①施加载荷：MainMenu>Solution>Define Loads>Apply>Structural>Force/Moment>OnKeypoints→ 拾取关键点2 → OK → Lab：MZ，VALUE：输入1.2*52.360E3 → OK。
②非线性求解设置：Main Menu >Solution >AnalysisType >Sol'n Controls →Time at end of loadstep:输入1；Automatic time stepping（自动时间步长）：勾选ON；Number of substeps（载荷子步）：从上到下依次输入20，200，5；Frequency（写出结果频率）：选择Write every Nth substep（写出每N个子步） →OK。
③求解：Main Menu > Solution>Solve >Current LS →File >Close →Solve Current Load Step →OK →Solutionis done →Close。
求解过程中，在时间1.57831055（静力学分析中Time表示载荷步和载荷子步）时，提示求解不收敛，见图5，点按Error对话框中的叉号，停止计算。
图5 求解不收敛
（3）保存结果文件：Utility Menu >Files>Save as →输入S.db →OK。
8．后处理
（1）列表显示载荷步和载荷子步：见图6。Main Menu >GenenralPostproc >Results Summary → TIME/ FREQ是每个载荷步和载荷子步的增量，Load STEP是载荷步，SUBSTEP是载荷子步。
图6 求解不收敛
（2）读入载荷步的结果：见图7。Main Menu>GeneralPostproc>Read Results>By Pick →拾取想要看的载荷步→Read→Close。例如读取载荷步2，载荷子步9的计算结果。
图7 读入载荷步的结果
（3）画应力云图
Main Menu >General Postproc>Plot Results >Contour Plot >Nodal Solu
①→XY Shear stress或XZ Shear stress（切应力）→ OK。例如XY切应力：结果是在单元坐标系（直角坐标系），轴向为X轴。X表示与X轴垂直的面内，沿Y方向的切应力。
②→Stressintensity（第三强度相当应力）→ OK。
③→vonMises stress（第四强度相当应力）→ OK。
五、命令流
![1]刘鸿文.材料力学II(第6版)[M].北京:高等教育出版社,2017:241-244.
Len=40 !轴长mm
D=10 !直径mm
pi=acos(-1)
Ip=pi*D**4/32 !极惯性矩
Wp=pi*D**3/16 !抗扭截面系数
Tao=200 !屈服切应力MPa
Sigma=Tao*3**0.5 !第四强度屈服应力
Ts=Wp*Tao !屈服扭矩N.mm
Tu= (4/3)*Ts !极限扭矩Tu=(4/3)*Ts
!---------------------------------------------------------
/PREP7
ET,1,BEAM188 !单元类型
SECTYPE,1,BEAM,CSOLID,,0 !横截面
SECOFFSET,CENT
SECDATA,5,24,12
MP,EX,1,2.0E5 !弹性模量
MP,PRXY,1,0.3 !泊松比
!双线性随动强化(BKIN)可定义理想弹塑性
TB,BKINTBTEMP,0
TBDATA,1,346.41,0 !第四强度屈服应力
K,1,0,0,0, !关键点
K,2,0,0,40,
L,1,2 !线
LESIZE,all,5,,,,,,,1 !单元尺寸
LMESH,1 !分网
/ESHAPE,1.0 !打开单元形状
FINISH
/SOLU !求解器
DK,1,ALL !约束
DK,2,UX
DK,2,UY
DK,2,UZ
DK,2,ROTX
DK,2,ROTY
TIME,1 !第1载荷步
AUTOTS,ON !自动载荷步
NSUBST,20,200,5 !载荷子步
OUTRES,ALL,1 !输出每个子步的结果
FK,2,MZ,39.270e3 !施加弹性极限扭矩
SOLVE ! 第1载荷步求解
TIME,2 !第2载荷步
NSUBST,20,200,5 !载荷子步
OUTRES,ALL,1 !输出每个子步的结果
FK,2,MZ,1.2*52.360e3 !1.2倍塑性极限扭矩
SOLVE ! 第2载荷步求解
FINISH
/POST1
SET,LIST !查看计算的载荷步
SET,LAST !读入最后载荷子步的结果
SET,PREVIOUS !提取上一个载荷子步的结果
PLNSOL,S,EQV,0,1.0 !第四强度SEQV
PLNSOL,S,INT,0,1.0 !第三强度SINT
PLNSOL,S,XY,0,1.0 !切应力SXY
PLNSOL,S,XZ,0,1.0 !切应力SXY
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