模态、频响与PSD应力在结构分析中的应用

1 引言

在汽车结构CAE分析中，模态分析、频响分析和随机响应分析都是常见的分析项，这些分析项在主机厂都是被划分到NVH领域，而NVH工程师主要关心的是加速度和位移响应，不太关心应力。所以文献资料中对模态应力、频响应力、和PSD应力的介绍非常少。

近几年来，基于道路谱的整车结构疲劳分析已经开始从准静态多通道法转换到模态瞬态响应法，频域内的强度和疲劳分析也已大量应用。实施这些动态的强度疲劳分析必然要涉及到上述三种应力，所以我们有必要对模态应力、频响应力和PSD应力的概念做一些讨论。

2 模态分析和模态应力

我们通常说的模态指的是结构的实模态，其物理含义是，在没有外界激励和阻尼的条件下，结构自身按特定频率和特定的变形模式做简谐振动，这个特写频率就是结构的固有频率，这种变形模式就叫做模态振型。

通过求解振动特征方程，可以得到特征值与特征向量，即可得到相应的固有频率与模态振型。固有频率和模态振型是结构固有的一种属性，它只与结构的形状、约束形式、材料特性等有关，而与其他输入（例如加载）无关。

模态振型是一种结构变形模式，这种变形所对应的应力分布就叫做模态应力。进行模态分析时，如果打开应力结果输出选项，对应每一阶固有频率，就有对应的模态应力结果输出。模态应力是相对应力，和模态振型的相对概念是一样的，它只表征结构各点应力的比例关系，其绝对数值并无意义。

模态振型和模态应力的一些特征如下：

1)   模态振型通过驻波描述，而这些驻波的节点位置是固定的，节点处的位移始终为0,但模态应力通常不为0。

2)   结构上所有点在同一时刻，其位移分量和应力分量达到最大值或最小值。

3)   结构上所有点同一时刻通过零点位置，该时刻结构的位移和应力处处为0。

4)   结构上所有的点，各位移分量和应力分量要么完全同相位，要么完全反相位。

5)   无阻尼情况下计算得到的模态振型和模态应力与比例阻尼情况下的模态振型和模态应力相同。

3 频响分析和频响应力

频率响应分析（简称频响分析）用于计算结构在正弦周期载荷作用下对每一个计算频率点的动态响应。在频率响应分析中，激励载荷是在频域中明确定义的，载荷在每一个指定的频率上都是已知的。计算的响应结果为以实部和虚部形式表示的复数，或由幅值和相位形式定义。

频率响应分析有两类不同的数值方法可供选择，即直接法和模态法。

直接法频率响应分析通过求解整个模型的阻尼耦合方程，得出结构在一个稳定的正弦周期外力作用下的响应。结构可以具有粘性阻尼和结构阻尼，结果可输出复位移、速度、加速度、约束力、单元力和单元应力等。

模态法频率响应分析将结构矩阵用忽略阻尼的实特征值分析进行了压缩，然后用模态坐标建立广义刚度和质量矩阵。该分析的结果输出类型与直接法相同。

在频响分析中，如果我们设置单位正弦激励，针对某个频段上的多个频率点计算响应，其响应结果就叫做频响函数（以激励频率为横坐标）。这个单位正弦激励可以是力、力矩或压力，也可以是位移、速度或者加速度。激励的单位也不局限于国际单位制，比如单位加速度激励，可以用1.0m/s²的加速度，也可以用1.0g的加速度，当然最后计算得出的频响函数的含义也不相同。

频响函数表征了线性系统在给定频率下的稳态输出与输入的关系。这个关系具体是指输出输入的幅值之比与激励频率的函数关系，和输出输入的相位差与激励频率的函数关系。这两个关系称为线性系统的频响特性。频率响应函数是复函数，可分解为幅频特性曲线和相频特性曲线分别研究。

如果我们研究的系统响应为结构应力，则此时的频响函数叫做应力频响函数，也叫作频响应力。频响应力表征的是单位正弦激励下的应力张量响应，它包含了各应力分量的频率响应曲线。通常我们更关心这些应力分量的合成效果，即Von Mises应力的频响曲线。频响应力曲线的峰值点一般是对应着结构的某阶固有频率。

图1展示了某电池包分别承受X、Y和Z向加速度激励时，壳体上某点的Von Mises应力频响曲线。

图1 结构上某点von Mises应力的频响曲线

在计算频响应力时，应设置符合实际情况的阻尼。如果没有具体试验测试数据，对于汽车车身结构而言，建议模态阻尼（临界阻尼系数，即Nastran中CRIT形式）设置为0.02。

需要注意的是，由于阻尼的存在，结构各点的频响应力可能相位不同，甚至同一点的各应力分量的频率响应函数也可能相位不同，这点与模态应力有很大差异。

计算频响应力时，频率点的间隔需要仔细斟酌，如果频率点取得太稀疏，那么很可能漏掉应力频响曲线的峰值点，导致后续强度和疲劳分析的结果过于激进。频率点如果取得太密集，固然可以提升分析精度，但在每一个频率点都输出结构的全场应力，我们将得到一个庞大的频响应力结果文件，很可能导致强度和疲劳分析软件无法处理。比较好的方案是在结构的各阶固有频率附近采用密集的频率点，在各阶固有频率之间采用稀疏分布的频率点。

图2和图3分别展示了使用Nastran和Abaqus计算频响应力的头文件，结构所受的载荷为加速度激励。

图2 计算频响应力的Nastran头文件

图3 计算频响应力的Abaqus头文件

采用模态法计算结构频响应力，首先将结构动力学方程进行模态解耦，然后针对解耦的各单自由度系统求得模态坐标的频响函数，

其中H_i(ω)为第i阶模态坐标的频率响应函数，P_i、m_i、b_i和k_i分别为第i阶模态力、模态质量、模态阻尼和模态刚度。

频响应力则由各阶模态坐标的频响函数和对应的模态应力相乘叠加得到，

其中H_σ(ω)为频响应力，σ_i为第i阶模态应力。

按照这个思路，我们可以不直接计算输出频响应力结果，而是先通过一个实模态分析输出各阶模态应力σ_i，这个结果文件的大小取决于模态分解的阶数；再通过一个模态法频响分析输出各阶模态坐标的频响函数H_i(ω)，这个结果文件只包含了一些单自由度系统的频响曲线，所以其大小通常不过几兆字节。在进行后续强度或疲劳分析时，频响应力再利用公式（2）得出。

这样做的好处是，我们即使将频率点设置的非常密集，模态坐标频响函数结果文件也只会增大几兆字节，模态应力结果文件的大小则不会改变。从而在控制结果文件大小的同时，避免了遗漏频响应力曲线上的峰值点，特别适合模型规模大且激励频带很宽的情况。

4 随机响应分析与PSD应力

随机响应分析用于计算结构在随机激励载荷作用下的响应。随机激励载荷是频域信号表征的，通常采用功率谱密度函数（PSD）表示。随机激励下的响应是统计意义下描述的响应，在任何瞬时响应具体大小未知，但其大小的概率可以给出。

随机响应分析通常是作为频率响应分析的后处理。首先施加单位正弦激励，得到频响函数，然后根据用户给定的载荷条件（形式为各载荷的自功率谱密度和互功率谱密度）。输出为响应的功率谱密度、响应的自相关函数或响应的均方值，其中应力响应的功率谱密度我们简称为PSD应力。

与频响函数一样，响应的PSD也是以频率为横坐标的函数，但PSD是正的实函数，并没有相位的概念。

一个线性系统，承受平稳随机激励载荷x(t)，其PSD为S_x(ω)，响应信号为y(t)，其PSD为S_y(ω)，则可按下式计算y(t)的功率谱密度，

其中H(ω)为载荷x(t)所对应的频响函数。

如果有多个随机载荷信号x₁(t),x₂(t),…,x_N(t)共同作用，则

其中S_xr,xs(ω)当r≠s时，为载荷x_r(t)和x_s(t)的互功率谱密度函数（CPSD）；当r=s时，为载荷x_r(t)的功率谱密度函数。

对于互不相关的多个载荷信号，其互功率谱密度全部为零，则

所以，只要有各载荷的频响函数H_r(ω)，我们就可以根据激励载荷的PSD矩阵来求得结构上各点的PSD应力。图4展示了一个卡车车身的载荷PSD矩阵，，共有12个载荷通道，构成12*12的PSD矩阵，其中对角项为各载荷的自功率谱密度函数，非对角项为互功率谱密度函数。

图4  随机激励载荷的PSD矩阵

PSD应力表征的是随机激励下的应力张量响应，它包含了各应力分量的PSD曲线。得到PSD应力后，再依据某些频域疲劳失效模型，例如Dirlik算法、Lalanne算法或Steinberg算法等，就可以得到应力幅值区间的概率分布，进而得到疲劳寿命或者损伤值。

5 随机激励下Von Mises应力的有效值

对于平稳随机过程，响应信号的均方根值，即有效值（RMS），可以由其PSD在频域内积分得到，即

这是功率谱密度函数S_y(ω)最重要的一个特性，即功率谱密度曲线下的面积就是平稳随机过程y(t)的功率E(y²)，即均方值，如图5。功率E(y²)开平方后就是y(t)的有效值。

图5 功率谱密度曲线与均方值

所以只要我们通过随机响应分析计算得到PSD应力后，各应力分量的均方根值都可以用上式得到。

我们通常不太关心各应力分量的均方根，而是关心Von Mises应力的均方根。对于汽车上的钣金结构，有一种估算疲劳寿命的简单方法：如果随机载荷引起的结构上各点Von Mises应力的均方根值小于材料拉伸极限的20%，基本可以认为能达到无限疲劳寿命。

可惜的是，由于Von Mises应力是应力分量的非线性函数，不是零均值的平稳随机过程，因此用于计算加速度、位移、应力分量均方根值的公式(6)不能直接用于Von Mises应力。需要用一些复杂的运算从载荷的统计转换到Von Mises应力的概率分布，并要考虑各应力分量之间的相关性，才能得到Von Mises应力的均方根值。具体的运算过程读者可查阅一些相关文献。

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