牛顿摆的力学分析：不连续介质中的波动现象

理想牛顿摆的模拟效果

牛顿摆（Newton's cradle）并非牛顿发明，这种装置中小球的碰撞特点最早是由法国物理学家埃德姆·马略特（高中物理的理想气体定律三大基石之一，波义耳-马略特定律么还记得吗？）于1676年发现并提出。

论辈分，马略特要大牛顿二十几岁，可能他是要致敬这位横空出世的天才，这个摆球装置被命名为牛顿摆。

我们可以看到，理想牛顿摆中间的3个球在碰撞过程中“稳如泰山”，然而，现实中的牛顿摆要做到这种效果，是极其困难的事情，因为冲击能量的传递速度是有限的，中间那几个球会总会有一些能量来不及传递出去就已经失去了来自接触面的约束，所以并不会原地不动。

现实中的牛顿摆是这样的：

中间的球也在动

这样的：

中间的球又在动

摆来摆去，还是这样的：

中间的球还在动

理想概念根深蒂固导致的一个问题

想跟提问者说，对于问题描述而言，第一句可能不是必须的。

牛顿摆的Abaqus仿真模拟

理想中的牛顿摆不考虑能量损失，是完全的弹性碰撞，现实中的牛顿摆有摩擦（球与球之间、球与空气，绳索连接处等），系统存在阻尼，非弹性碰撞与阻尼会耗散掉初始动能，绳索与球自身变形引起的振动也会吸收一部分能量。

牛顿摆碰撞仿真模型

这个问题的核心不在于球怎么振动，而在于冲击的传递过程，所以我们通过刚体接触建模来建立牛顿摆的碰撞仿真模型。

球与球之间的接触属性设置里面需要定义适当的法向接触算法、摩擦系数与接触尼阻。

牛顿摆碰撞仿真

还记得我们有一期文章提到的Abaqus虚拟高速摄影吗？在这里可以派上用场，我们想知道极短的碰撞时间内冲击的传递过程，可以在碰撞过程中（0.1071s到0.1075s内）设置较为密集的场变量输出，其余时间段稀疏一点，这样的话，会有一个慢镜头向我们展示力的传递过程。

小球加速度云图

球心速度矢量图

从5个球水平方向速度V3的变化曲线来看，动能主要在两端的2个球之间交换，每次碰撞都有一小部分动能转移到中间的3个球上面；从5个球垂直方向速度V2的变化曲线也可以看出，系统能量一直在耗散，两端的球摆动升高幅度逐渐降低。

5个球的水平速度V3与垂直速度V2变化曲线

2怼3（左）与3怼2（右）的情况

这个问题本质上并没有这里讨论的那么的简单，我们可以将其称之为不连续介质中的波动问题（由于波动理论发展于连续介质力学，而不连续介质中的冲击往往是单向传递，所以这种波动的叫法听起来可能有点别扭），类似于连续介质中的材料刚度与密度会影响弹性波的速度，不连续介质interface的接触传力特性会直接影响刚体（或弹性体）之间的冲击传递速度与冲击能量传递效率。

要把握接触算法、接触参数对不连续介质中冲击传递速度的影响规律，还是需要大量研究与分析的，有机会再展开讨论。

付费部分为牛顿摆仿真1怼4模型，带虚拟“高速摄影”设置的1怼4模型，2怼3模型，3怼2模型一共4个仿真模型的inp文件，导入Abaqus/CAE在interaction模块可以查看牛顿摆仿真法向接触算法、摩擦参数、接触阻尼的详细定义。

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