离散元与有限元：优缺点对比与分析

目前世界上结构计算方法一般分为有限元（FEM finite element method）、 离散元（DEM discrete element method）、还有边界元(EEM)。
   

离散元方法是由分析离散单元的块间接触入手找出其接触的本构关系建立接触的物理力学模型并根据牛顿第二定律对非连续、离散的单元进行模拟仿真。而有限元方法是将介质复杂几何区域离散为具有简单几何形状的单元通过单元集成、外载和约束条件的处理得到方程组再求解该方程组就可以得到该介质行为的近似表达。 
 

离散元方法的基本概念

离散元方法也被称为散体单元法，最早是1971年由Cundall 提出的一种不连续数值方法模型离散元理论是由分析离散单元的块间接触入手找出其接触的本构关系建立接触的物理力学模型并根据牛顿第二定律建立力、加速度、速度 及其位移之间的关系对非连续、离散的单元进行模拟仿真。 
 

离散元法是专门用来解决不连续介质问题的数值模拟方法。该方法把节理岩体视为由离散的岩块和岩块间的节理面所组成,允许岩块平移、转动和变形,而节理面可被压缩、分离或滑动。
 

因此，岩体被看作一种不连续的离散介质。其内部可存在大位移、旋转和滑动乃至块体的分离,从而可以较真实地模拟节理岩体中的非线性大变形特征。离散元法的一般求解过程为：将求解空间离散为离散元单元阵,并根据实际问题用合理的连接元件将相邻两单元连接起来；单元间相对位移是基本变量,由力与相对位移的关系可得到两单元间法向和切向的作用力;对单元在各个方向上与其它单元间的作用力以及其它物理场对单元作用所引起的外力求合力和合力矩,根据牛顿运动第二定律可以求得单元的加速度;对其进行时间积分,进而得到单元的速度和位移。从而得到所有单元在任意时刻的速度、加速度、角速度、线位移和转角等物理量。
 

离散单元法的特点

岩体或颗粒组合体被模拟成通过角或边的相互接触而产生相互作用。 块体之间边界的相互作用可以体现其不连续性和节理的特性。 使用显式积分迭代算法允许有大的位移、转动和使用。在岩体计算力学方面，由于离散单元能更真实地表达节理岩体的几何特点，便于处理所有非线性变形和破坏都集中在节理面上的岩体破坏问题，被广泛应用于模拟边坡、滑坡和节理岩体地下水渗流等力学过程 
 

离散单元法的求解过程 离散元法具体的求解过程分为显式解法和隐式解法下面分别介绍其适用范围。 
 

显式解法

显式解法用于动力问题的求解或动态松弛法的静力求解显式算法无须建立像有限元法那样的大型刚度矩阵只需将单元的运动分别求出计算比较简单数据量较少并且允许单元发生很大的平移和转动可以用来求解一些含有复杂物理力学模型的非线性问题时间积分采用中心差分法由于条件收敛的限制使得计算步长不能太大因而增加了计算时间。 
 

隐式解法

隐式解法用于求解静力问题的静态松弛法隐式解法的动态松弛法式直接找导块体失去平衡后达到再平衡的力位移关系建立隐式方法解联立方程组并通过迭代求解以完全消除块体的残余力和力矩。
 

有限元方法的基本概念

将介质复杂几何区域离散为具有简单几何形状的单元而单元内的材料性质和控制方程通过单元节点的未知量来进行表达再通 过单元集成、外载和约束条件的处理得到方程组求解该方程组就可以得到该介质行为的近似表达。  

有限元法的优点

可以用有限的、相互关联的单元模拟无限的复杂体，无论多么复杂的几何体都能用相应的单元简化，从而建模分析计算出结果。使复杂的、感觉无处下手的工程问题简单化，这是最大的优点。 有限元法采用矩阵形式表达，编程性高
 

对于线弹性问题当实际结构位移场函数连续光滑时能够得到收敛解。 
 

对于任意复杂结构理论上总是可以通过细分单元的方法获得足够近似的模拟。  长期大量工程应用积累了丰富的经验。 
 

有限元的插值是基于网格的，所以需要人为做好单元，这很耗时间，但是单元就好像人们修了路一样，计算的时候可以节省很多时间，效率比较高。同时，这也是有限元法的一个缺点，大变形问题中的网格畸变问题，本质在于单元插值造成的 
 

缺点：精确度浮动性比较大。基于建模的水平和边界条件、载荷工况的模拟是否真实等等。

下面给出离散元法模拟搅拌过程结果，案例文件请看文末：
 

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