粘弹性材料的本构模型研究

粘弹性（viscoelasticity）材料模型是一种率相关的材料本构模型，所谓率相关，指的是其材料性质与真实时间相关，即在不同的加载速度下，材料性质有所不同。与之相反的是率无关模型。现实世界中许多材料，如沥青，聚合物，混凝土徐变，金属在受高温均表现出率相关的性质。与率相关相反的是率无关本构，其指的是材料性质与真实加载时间无关，常见的金属经典塑性，就属于率无关本构。力学上通常用不同的“简化单元”如弹簧单元（用于描述弹性），阻尼单元（用于描述粘性）和摩擦单元（用于描述塑性）结合起来描述这些率相关或者率无关的材料本构模型。

例如，弹簧单元和摩擦单元结合可以用于描述率无关塑性，弹簧单元和阻尼单元结合可以用于描述粘弹性，弹簧单元+阻尼单元+摩擦单元可以用于描述粘塑性（率相关塑性）。

对于弹簧单元，有以下关系：

这就是常见的胡克定律；

对于阻尼单元，有以下关系：

对于粘弹性材料，最简单的两种模型如下：

其中，Kelvin-Voigt模型通过一个阻尼单元和一个弹簧单元并联组成，Maxwell模型通过一个一个弹簧单元和一个阻尼单元串联形成。这两种模型，在受力时会产生不同的现象，下面从基本原理出发，阐述其具体力学现象。

（1）对于Kelvin-Voigt模型，有以下关系：

上式推导了Kelvin-Voigt模型应变与应力的关系。由该关系可知，当不变时，应变从0逐渐趋向于，具体图像如下：

   这种应力不变但是应变逐渐增大的现象，我们称之为蠕变。

（2）对于Maxwell模型，有以下关系：

具体图像如下：

   这表明，在应变保持不变的基础上，应力会逐渐变小趋向于0，这种现象我们称之为应力松弛。

   由此可见，Kelvin-Voigt可以模拟蠕变现象，Maxwell可以模拟应力松弛现象。在实际材料本构中，还会通过更复杂的弹簧单元和阻尼单元的结合，以模拟更为复杂力学本构模型。在abaqus帮助文档的用户子程序文档UMAT的说明中，其描述了一个更为复杂的粘弹性模型，并给出了该模型的应力应变关系推导和采用中心差分法进行应力更新的UMAT代码。

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