先来看个例子一个悬臂梁,左端固定,右端施压,求变形的问题。
已知材料弹性模量E=200GPa=2e5 MPa,压力F=500N,杆长L=100mm,杆截面为矩形,厚h=10mm,宽b=10mm,求变形WB。
翻出吃了多年灰的材料力学,查到公式为:
I为横截面惯性矩,对于矩形
则梁的变形为:
下面在Workbench静力学中计算这个案例。
Step1 建立算例与模型。
过程略,由于WB材料库中的结构钢得弹性模量为200GPa,所以本例无需修改。
Step2 网格与边界条件。
在长度方向划分10等分,厚度和宽度方向2等分。
网格使用无中节点的低阶单元,检查单元,全部为8节点的6面体单元。
左端固定,右端施加Y正向500N的力。
Step3 计算位移。
计算求得Y向最大位移为0.984,误差1.6%可接受。
以上计算中,默认积分选项的低阶单元并没有出现剪切自锁,具体原因在下篇文末解密。
如果您第一次听到这个概念,可以暂时把剪切自锁理解为结构变硬、弯曲变形困难现象。
下面我们来验证完全积分的低阶6面体单元是否会出现剪切自锁。
Step4 完全积分的低阶线性单元剪切自锁验证
要修改单元的积分方案,需要修改模型属性。先修改几何结构的单元控制选项为手动,这样程序才会激活积分选项。然后修改模型积分方案为完全积分。
其他条件不变再次计算,结果如下
计算得Y向最大位移0.77,产生了23%的误差。
那么,网格加密后会改善吗,我们将厚度和宽度方向划分4等分,再次计算结果如下。Y向最大位移变化不大,出现27%的误差,说明加密厚度方向的网格无法预防剪切自锁。
把厚度和宽度方法只划分2等分,长度方向划分20等分试试。计算得最大位移已经很接近解析解了。
结论:
2. Workbench默认积分方式的低阶单元和高阶单元都不会出现剪切自锁现象。
下面就来说说剪切自锁是什么。
要说到剪切自锁,就必须说到单元积分技术。
在有限元计算中,自由度{∆u}解是通过节点求出的,而应变(及应力)是在积分点求出的,然后再外推(线性计算)或者复 制(非线性计算)到对应的节点上。这种基于位移自由度的积分点遵循高斯积分法且与单元的阶数相同,即称之为完全积分。
∆ε = B∆u (B是应变-位移矩阵)
单元的积分点是由积分公式求得。举个栗子,plan182低阶平面单元和plan183高阶平面单元,完全积分点通过以下公式求得。
看不懂没关系,积分点位置示意如下图,左为plan182,右为plan183。
更多积分点位置见ANSYS帮助文件——Mechanical APDL——Theory Reference——12.2. Integration Point Locations。
完全积分可解决大多数问题,但是完全积分的低阶单元会出现剪切自锁。
剪切自锁是指单元弯曲过程中的过度刚化,导致计算出的剪切应力过大,弯曲变形过小。
如下图,o为节点,x为积分点,在纯弯曲中,高阶单元由于有中节点,允许上下边弯曲为圆弧,过积分点的水平线与竖直线保持直角,剪应力为0,符合实际情况。
而低阶单元由于没有中节点,变形后上下边仍为直线。过积分点的水平线与竖直线不为直角,产生剪应力,使得计算的弯曲变形明显偏小,即结构刚度过大导致变形困难。
完全积分的高阶单元只有在复杂应力状态下才会出现剪切自锁,工程师应该很少遇到。
为克服剪切自锁与体积自锁,就引入了相应的单元技术,缩减积分就是其一。缩减积分比完全积分在每个方向上少用一个积分点。下图所示为平面单元缩减积分示意图。
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