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1、传统位移公式
传统位移单元的积分点和单元的阶数相同遵循高斯积分法，这被称为完全积分。
换句话说,完全积分意味着数值积分方法对未发生几何扭曲单元的应变能的所有分量是精确的。
注释Ansys使用14点积分模式，也认为是完全积分。
2、剪切和体积锁定
传统基于位移的单元有两个问题:剪切锁定和体积锁定：
剪切锁定导致弯曲行为过分刚化(寄生剪切应力)。当细的构件承受弯曲时，这是一种几何特性。
体积锁定导致过度刚化响应。这是材料当泊松比接近或等于0.5 时的一种材料特性。
剪切锁定
高阶单元完全积分可以解决剪切锁定问题，低阶单元完全积分存在剪切锁定问题！
剪切锁定
记住,对一个纯弯的梁而言，剪切应变是零。
体积锁定
材料行为几乎或完全不可压缩时(泊松比接近或等于0.5)，在完全积分的单元中发生体积锁定。
-超弹材料或塑性流动可发生不可压缩；
-单元中产生的伪压应力导致单元对不会引起任何体积变化的变形“过度刚化”
-体积锁定也会引起收敛问各种应力状态都会发生体积锁定，包括平面应变、轴对称及3-D
应力
-对平面应力问题不会发生体积锁定，因为平面外的应变用于满足体积不可压缩条件。
体积锁定
可以将应力分解为体积分量（-P）和偏应力分量（S）:
体积锁定
静水压力（p）由体积模量（K）和体积应变（evol）的乘积来确定：
1-如果泊松比趋近或等于0.5
-体积模量K 将会非常大或无穷大
-体积应变evol将会趋近或等于0
-这就是所谓的几乎或完全不可压缩材料行为
2-几乎或完全不可压缩材料存在数值处理上的困难，且会出现过度刚化现象。
-这在体积变形问题中显而易见。
-从计算的观点出发，几乎或不可压
缩材料问题一般要区别对待。
体积锁定
用传统单元静水压力结果云图如下所示
3、单元积分方法
结构单元有两类：
-高阶单元
-低阶单元
3.1完全积分（FullintegrationwithBmethod）
B-bar方法（也叫做选择性缩减积分，持续膨胀单元，常压逼近） 用低一阶的积分方法对体积项积分。
应力状态可以分为静水压力(p)和偏应力分量(s)。
在上述方程中,evol是体积应变e是偏应变。K是体积模量而G是剪切模量
应变通过下列公式跟位移关联起来：
当计算B时,我们对于体积分量和偏分量部分可用两种不同的积分阶数。
B的体积分量和偏应力分量是采用不同的积分阶次来计算的。只有体积分量Bv是用缩减积分，这就是此方法被称为选择性缩减积分或者常压力方法。它又称为B-bar方法是因为B在体积项上取均值
对Bv进行缩减积分实际上是为了使它“弱化”，因为没有对其完全积分。这便使得几乎不可压缩行为可解并且能够克服体积锁定。
然而，因为偏分量Bd保持不变，寄生剪应变依然存在，所以此公式仍然易受剪切锁定影响。
3.2一致缩减积分（Uniformreducedintegrationwithhourglass control）
一致缩减积分(URI)采用比实际数值需要的积分阶次低一阶的积分方法。
这和选择性缩减积分有点相似，但体积分量和偏分量都有缩减积分由此公式可以导出一个比较柔性的公式用来消除剪切和体积锁定。
-体积项的缩减积分可用于几乎不可压缩问题的求解；
-偏分量的缩减积分可以防止弯曲问题的剪切锁定。
不幸的是，偏分量的缩减积分会导致零应变能变形模式，称为零能量模式或沙漏模式。这是不可控制的变形模式，它会导致不符合实际的行为。
如下图，对于具有一个积分点的低阶单元，此两种变形模式中的单个积分点都未能捕获任何应变能.
URI单元有很多好处：
–能应用于几乎不可压缩问题上来克服体积锁定
–能应用于弯曲问题而不需要担心剪切锁定
–不需添加额外的自由度，并且可以减少单元计算时间和文件尺寸（如*.esav
文件）。对于非线性问题，尤其可以得到高效解。
另外，用户在用URI时需要考虑下列问题:
–低阶URI单元容易沙漏，因此Simulation没有设置自动启动。
–低阶URI单元有些太柔性化，特别是对于弯曲占优问题，所以有必要进行较细的网格划分来避免对位移的高估
–低阶和高阶URI单元的积分公式都比完全积分低一阶。这意味着对低阶单元应力在1点求值，对高阶单元在2x2或2x2x2点求值。因此，需要更多单元来捕捉应力梯度
–URI 不能单独用于完全不可压缩分析。对这种情况URI可以和混和u-P联合求解（以后讨论）
3.3增强应变公式（Enhancedstrainformulation）
增强应变公式（又名不协调模式,假设应变）给低阶四边形/六边形单元添加内部自由度。位移梯度张量用附加的‘增强’项修正,因此得名“增强应变”。
--增强应变单元可用于剪切或体积锁定时（如弯曲占优势的问题或几乎不可压缩材料行为）；
--可用增强应变单元的四边形/六边形单元有两种:
该公式仅适用于四边形或六边形低阶单元.
-接近矩形时单元表现最好，而呈梯形时表现不佳，这是增强应变技术的局限性；
-高阶单元会出现剪切锁定。
记住增强应变为弯曲和几乎不可压缩应用而设计
-增强应变单独不能用于完全不可压缩分析，但也可以与混合U-P
公式结合使用（以后讨论）；
-一般在体积变形为主导时不推荐和混合U-P公式结合使用。本例中B-Bar和混合U-P一起使用会更加有效。
增强应变有上述优点，但更耗费计算机时间
-附加内部DOF被凝聚在单元层次，但仍额外消耗计算机时间(和更大的*.esav 文件)
四边形PLANE182和六边形SOLID185支持增强应变
-如果单元扭曲，则增强应变在弯曲中将不利，尤其是梯形单元
增强应变的补充说明:
-默认情况下，增强应变法只用于四边形或六面体，不可用于退
化形状。退化形状一般会自动使用退化形函数得到健壮的非线性解。
-使用ETCONTROL,,OFF命令，常规形函数（使用增强应变） 可用于退化形状，然而我们不建议这么做；
-使用ETCONTROL,,OFF命令，常规形函数（使用增强应变） 可用于退化形状，然而我们不建议这么做；
3.4简化增强应变（Simplifiedenhancedstrainformulation）
简化增强应变（也叫做附加位移形式，“气泡函数”）可以认为是刚才讨论过的增强应变的一个子集。
-对低阶四边形和六面体单元，简化增强应变具有的额外内部自由度只用来防止剪切锁定，而不能处理体积锁定；
-虽然内部自由度是用来增强形函数以提供更多的柔性（在E节中有讨论），但这也会导致单元的“软化”，从而使得体积锁定会间接的减轻；
-然而，如果考虑材料的不可压缩性，用户最好不要用简化增强应变
因为它不能直接处理体积锁定。
对四边形和六面体，下面两个18x单元可以使用简化增强应变:
-PLANE182 whenKEYOPT(1)=3
-SOLID185 whenKEYOPT(2)=3
-和增强应变相似，对于扭曲单元简化增强应变没多少优势，特
别是梯形单元.
对于2D单元（PLANE182),要添加4个内部自由度，对于3D单元
（SOLID185），要添加9个内部自由度。这些自由度被浓缩到
单元层级。
简化增强应变可以用到出现剪切锁定而没有体积锁定的情况
-它是增强应变的一个子集，所以它对于不考虑体积锁定的问题简
单且有效
-简化增强应变可以和混和u-P公式结合用到几乎或完全不可压缩材料形式
-这种情况下的应用，简化增强应变与常规增强应变结合混和u-P
没有什么区别
-如E节所强调，对于体积项，如果要和混和u-P结合，增强应变就不必用到附加内部自由度。因此，如果要用混和u-P公式则简化增强应变和增强应变就没什么区别
4、混合U-P公式
混合U-P单元(又名杂交单元或Herrmann单元)通过求解静压力
（或体积应变）做为附加自由度来处理体积锁定。
-在位移和静水压力(或体积应变)自由度上使用不同的插值函数；
ANSYS中有三个不同的混合u-p公式，可用于几乎或完全不可
压缩分析
-几乎不可压缩弹塑性材料(Mixedu-PI)
-完全不可压缩超弹性材料(Mixedu-PII)
-几乎不可压缩超弹性材料(Mixedu-J)
当完全不可压缩超弹性材料处于非平面应力状态时，只有Mixed u-PII在Simulation中自动激活。
当Mixedu-P启动后，静水压力被当作独立的自由度求解，矩阵方程是
注意:因为材料完全不可压缩[Kpp]=0,
因为拉格朗日乘子Lagrange Multipliers(内部自由度DOFP) 保存在总体刚度阵中，因此用这个公式必须用直接求解器。迭代求解器如PCG是不能用于处理病态矩阵结果。
对于超弹性，当前体积和原始体积的比值就是体积比J
其中V和Vo 分别是单元对应的最新体积和原始体积如前一情况，必须满足体积相容约束
-对完全不可压缩超弹性材料，不会有体积变化
–使用J，可以确定体积变化
-对于完全不可压缩的情况，J应当等于1。也就是说最终体积和
原始体积应当相等（无体积变化）
体积比J应为常数（J＝1），这对完全不可压缩材料是正确的:
这导致了下列体积协调性方程:
默认的Vtol值是1e-5.当这个条件不满足时，SolutionInformation分支会记录下来.
如果因为Mixedu-P体积协调条件没有得到满足导致收敛失败， 这时放松容差或许有帮助。
注意:放松容差会有允许材料中有少许的压缩性。在其他求解收敛项（如增加子步数）都尝试后，这种方法仅作为最后的办法。
Simulation用户不能对体积协调容差（volumetriccompatibility constraints）进行直接操作,但是可通过CommandObjects完成.
SolutionInformation分支会记录下这种改变
对于一个完全不可压缩问题，如果所有的边界节点都具有确定的位移，则不会有唯一解。这是由于静压力（内部自由度）独立于变形的缘故。静压力要通过受力/压力的边界条件来确定，否则就不能计算静压力——例如，得不到唯一解。对这种问题，若含有至少一个无边界条件的节点，便可解。
若压力自由度个数（Nn）大于激活（无约束的）位移自由度个数（Nd），则会出现过约束并导致锁定。对于2D问题，它们的理想比值（Nd/Np）应为2/1,对于3D问题应为3/1。网格细分可以克服过约束问题，尤其是那些没有位移约束的区域.
Simulation用Mixedu-P提供了扩展的单元技术解决几乎不可以压或者完全不可压缩材料。
-Mixed u-P,就其本身而言，解决了体积锁定的问题
-对完全不可以压缩超弹性材料，Simulation必须用到mixedu-P公式.
-对几乎不可以压缩弹塑性材料，Simulation不会自动打开mixed u- P
-Mixedu-P公式可以和B-bar,URI,EnhancedStrain, 或Simplified Enhanced Strain 等公式联合使用于几乎不可以压缩材料，用commandobjects的方式
5、单元控制
5.1单元阶数控制
5.2单元积分控制
单元控制ElementControl 设置为手动，用户可以手动切换完全积分和缩减积分项
用户可零部件分支下的commandobject执行下列keyopt命令来覆盖默认的keyoption设置:
KEYOPT, ITYPE, KNUM, VALUE
-ITYPE是单元类型编号
-KNUM是KEYOPT编号
-VALUE是KEYOPT值
例如如果单元类型#1是PLANE182,加强应变可以用下列命令启动:
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