MATLAB验证奈奎斯特采样定理第23弹

7.2.1 采样频率大于信号最高频率2倍

奈奎斯特采样定理的理论推导过程稍嫌复杂，大家只要理解频谱变换的过程就可以了，定理的结论比较简单。完成定理的推导之后，接下来采用MATLAB验证一下信号的波形是否与理论相符。

例1：仿真采样频率大于信号频率2倍情况下的信号波形

为便于观察信号波形，设置模拟信号为单频信号，频率为100Hz，分别仿真采样频率为信号频率3倍（300Hz）、6倍（600Hz）、30倍（3kHz）情况下的信号波形。（d0701_fd2s.m）

%d0701_fd2s.m

f=100;

fs1=300; t1=0:1/fs1:0.02;

fs2=600; t2=0:1/fs2:0.02;

fs3=3000;t3=0:1/fs3:0.02;

subplot(311);plot(t1,sin(2*pi*f*t1));

legend('fs=3fh');

xlabel('时间 / s');ylabel('幅度 / v');

subplot(312);plot(t2,sin(2*pi*f*t2));

legend('fs=6fh');

xlabel('时间 / s');ylabel('幅度 / v');

subplot(313);plot(t3,sin(2*pi*f*t3));

legend('fs=30fh');

xlabel('时间 / s');ylabel('幅度 / v');

   图片
 

图7-4 采样频率大于信号频率2倍情况下的波形图

从图7-4所示波形可以看出，当采样频率大于信号频率2倍时，采样得到的信号频率与模拟信号的频率完全相同，且采样频率越高，波形越平滑。

7.2.2 采样频率等于信号最高频率2倍

当采样频率刚好等于信号频率的2倍，会得到什么样的波形？不作复杂的推论，用MATLAB仿真一下看看。

例2：仿真采样频率等于信号频率2倍情况下的信号波形

为便于观察信号波形，设置模拟信号为单频信号，频率为100Hz，分别仿真采样频率为信号频率2倍（300Hz）、采样起始相位分别为0、pi/4、pi/2情况下的信号波形。（d0702_fe2s.m）

%d0702_fe2s.m

f=100;

fs=200;

t=0:1/fs:0.02;

subplot(311);plot(t,sin(2*pi*f*t));

legend('初始相位：0');

xlabel('时间 / s');ylabel('幅度 / v');

subplot(312);plot(t,sin(2*pi*f*t+pi/4));

legend('初始相位：pi/4');

xlabel('时间 / s');ylabel('幅度 / v');

subplot(313);plot(t,sin(2*pi*f*t+pi/2));

legend('初始相位：pi/2');

xlabel('时间 / s');ylabel('幅度 / v');

图7-5 采样频率等于信号频率2倍情况下的波形图

图7-5为3种不同初始采样相位情况下，采样频率为2倍信号频率的波形。当初始相位为0时，波形为0（虽然呈现了波形，但注意信号幅度接近于0，之所以不为零，是因为MATLAB的内部虽然采用浮点运算，但仍因位宽有限，会产生一定误差，与本书讨论的ADC量化误差产生原理相同），由于每个周期采样2个点，初始相位为0，因此每次采样的值均为0，因此波形为0，或者说没有波形，这种极限情况下，无论设计什么样的滤波器，也是无法恢复出原来的100Hz模拟信号的；当初始相位不0，比如为Pi/4或pi/2时，每个周期采样2个点，刚好是绝对值相同的正数和负数，当相位为pi/2时，采样得到的幅值最大，为1，这种情况下，信号波形的周期仍然是100Hz，根据周期信号一定可以展形成傅里叶级数的原理，设计低通滤波器可以把100Hz的基波信号取出来，即可以还原模拟信号。

因此，当采样频率正好为信号频率的2倍时，这是一个极限频率，能否恢复出原始模拟信号，需要根据采样的初始相位情况确定。

所以，奈奎斯特频率，也就是2倍频的采样频率，是一个理论值。工程上不会采用这个理论值来进行采样，但这个频率在信号分析、处理、设计、应用中的理论和指导价值无可替代。

7.2.3 采样频率小于信号最高频率2倍

当采样频率小于信号频率的2倍，会得到什么样的波形？也就是说，信号采样频率不满足奈奎斯特采样频率，会出现什么样的波形？是混乱的吗？正弦波会变成杂乱无章的波形吗？

不进行复杂的推论，用MATLAB仿真一下看看。

例3：仿真采样频率小于信号频率2倍情况下的信号波形

为便于观察信号波形，设置模拟信号为单频信号，频率分别为10Hz、110Hz、1010Hz、仿真采样频率为100Hz情况下的信号波形。（d0703_fx2s.m）

%d0703_fx2s.m

f1=10;

f2=110;

f3=1010;

fs=100;

t=0:1/fs:1;

subplot(311);plot(t,sin(2*pi*f1*t));

legend('fs=100Hz,f=10Hz');

xlabel('时间 / s');

ylabel('幅度 / v');

subplot(312);plot(t,sin(2*pi*f2*t));

legend('fs=100Hz,f=110Hz');

xlabel('时间 / s');

ylabel('幅度 / v');

subplot(313);plot(t,sin(2*pi*f3*t));

legend('fs=1005Hz,f=1010Hz');

xlabel('时间 / s');

ylabel('幅度 / v');

图7-6 采样频率小于信号频率2倍情况下的波形图

看到这样的波形，有没有一下子惊掉你的下巴？采样正弦信号，即使采样频率远小于信号最高频率的2倍，得到的仍然是正弦信号，只是信号的频率不是原始信号的频率。

为什么？

因为采样就是以采样频率为周期的频谱的搬移。因为采样后，能够显示的信号频率一定小于采样频率的2倍。所以，采样后，一定有且仅有一个搬移后的频率处在采样频率的1/2以内，这个频率就是我们看到的信号波形的频率。

采样后信号的频率是如何搬移的呢？根据前面对傅里叶变换的讨论，傅里叶变换得到的频谱都是以指数形式展开的，因此实信号的频谱一定关于纵轴对称。采样后的信号频谱一定也是关于纵轴对称，因此，采样后的信号频率为：

上式中，f0是采样后的频率，fs是采样频率，fi是模拟信号的频率，k为整数。

比如，模拟信号频率为70MHz，采样频率为32MHz，计算一下采样得到的信号频率是多少？6MHz。

采样相当于下变频！

有点神奇吧，采样完成的下变频没有信息损失（信号一般是调制在载波频率上的），也没有增加其它的成本。

未完待续，敬请持续关注！

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