有限差分法实战：泊松方程的CFD求解之道

要点

• 有限差分法是一种近似方法，用于解决涉及偏微分方程的各种问题。
• 有限差分法将偏微分方程转换为一组线性方程，并使用矩阵求逆来求解它们。
• 使用有限差分法获得泊松方程的解，将具有无限自由度的连续场问题替换为有限正则模态的离散场。

在工程领域，工程师必须应对各种物理情况。大多数情况都可以使用数学方程来描述。泊松方程就是这样的方程之一，它控制扩散、引力和静电等物理情况。泊松方程可以使用各种数值方法求解。使用有限差分法(FDM)获得泊松方程的解很受工程师欢迎。在本文中，我们将进一步探讨泊松方程和有限差分法。

工程中的泊松方程

在工程中，物理现象的数学建模很常见。大多数物理现象（当进行数学建模时）都会形成偏微分方程 (PDE)。最实用且最常用的偏微分方程是泊松方程。

泊松方程是一个椭圆偏微分方程，它控制着电磁、静电、引力和扩散问题等的数学建模。有限差分法是一种近似方法，用于解决涉及偏微分方程的各种问题。问题可以是与时间无关的、与时间相关的、线性的或非线性的。

有限差分法适用于求解狄利克雷、诺伊曼等不同边界条件的问题，适用于不同边界形状或由不同材料组成的区域的问题域。

让我们看几个物理情况的例子，其中数学模型导出泊松方程。

用泊松方程表示的物理现象的例子

1. 扩散方程 -在扩散问题中，通量以化学溶质的量和扩散率 (k) 表示。稳态扩散可以用泊松方程的形式描述如下，其中S(x)是溶质源：

1. 热扩散方程 -热扩散方程用可能的热源和热扩散系数来表示。方程为：

H 是热场，T 是温度场，K 是常数，S(x) 是可能的热源。

1. 静电方程 -根据静电定律，可以导出与电荷 (P)、电场 (E) 和介电常数相关的方程：

1. 量子力学中的薛定谔方程。
2. 生物有机体在溶液中的运动。

尽管泊松方程是对工程情况进行建模的强大工具，但分析求解该方程的可能性仅适用于简单的几何形状。在对具有复杂几何形状的系统的行为进行建模时，通常依赖于数值技术。有多种数值模拟和竞争算法可用于求解泊松方程。然而，有限差分法是最简单的方法。

有限差分法

由于泊松方程仅适用于少数简单的工程模型，因此采用计算算法来获得近似数值解。在数值技术中，有限差分法是求解泊松方程最古老、最简单、最直接的方法。

有限差分法将偏微分方程转换为一组线性方程，并使用矩阵求逆来求解它们。在 FDM 中，偏微分方程直接从连续函数和算子转换为离散采样对应项。FDM的精度与有限网格逼近连续函数的能力有关。通过增加 FDM 中的样本数量，可以最大限度地减少解决方案中的错误百分比。

用有限差分法求解泊松方程

使用 FDM 求解泊松方程时必须采取明确的步骤。将偏微分方程离散化，离散化可以通过两种方式进行：

1. 均匀网格上的离散化 -网格点是恒定的。
2. 非均匀网格上的离散化 -网格点的距离不是恒定的。

一旦均匀或非均匀地生成网格或网格点，泊松方程就被有限差分近似代替。离散化后得到的线性代数方程组采用直接法或迭代法求解。通过求解给定的网格或网格点，得到满足所有网格点的泊松方程的近似解。

使用 FDM 求解泊松方程，将具有无限自由度的连续场问题替换为有限正则模态的离散场问题。有限差分法提供了一种直接直观的方法来求解泊松方程，从而使科学界和工业界受益。简单的编码和经济的计算是 FDM 提供的最大好处。

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