隐式有限差分法革新：突破时间步长限制的CFD求解

关键要点

• 当前向时间步的输出表达式依赖于自身时，隐式有限差分法用于求解问题。
• 隐式有限差分方程中会有不止一个未知数。
• 隐式有限差分法一般用于求解对时间步长没有限制的问题。

为了求解偏微分方程，通常采用数值方法。基于伪谱 (PS)、有限元 (FM) 和有限差分 (FD) 等差分技术的数值方法用于解决热传导问题、流体流动问题和扩散问题。有限差分法可以是显式的或隐式的，具体取决于为给定系统开发的方程式类型。在隐式有限差分法中，不需要随意递归计算，因为函数依赖于自身。

让我们进一步了解隐式有限差分法。

求解偏微分方程的解析方法

过程或系统的数值模型在工程和科学中使用偏微分方程表示。求解基于偏微分方程的数学模型以获得问题解。求解问题的解析方法仅适用于系统具有简单边界的偏微分方程。然而，大多数实际问题都涉及复杂的边界条件或不规则边界。在建模为困难边值问题的系统中，分析方法不起作用。对于此类复杂的数学模型，解决问题涉及使用数值方法。

有限差分法

差分技术包括伪谱 (PS)、有限元 (FM)和有限差分 (FD) 方法。在这些数值方法中，有限差分法非常重要，因为它需要最少的内存和计算时间。此外，与其他数值技术相比，它涉及简单的实现，复杂性较低。

除了传统的有限差分法外，还有多种变体可供使用。开发了各种有限差分变体，旨在提高有限差分法在数值建模中的准确性、效率和稳定性。

有限差分法变体

当使用解析方法求解偏微分方程时，解是表达问题域中因变量变化的封闭形式表达式。然而，基于有限差分法的解决方案给出了域中离散点处的变量值。离散点通常称为网格点。

网格点

在传统的有限差分法或格式中，网格点的数量是固定的。传统的有限差分法需要大量的内存和计算时间。为了减少内存需求和计算时间，采用可变网格方案。此外，可以实现计算成本的降低。在数值网格的不同部分引入时间采样不仅可以最大限度地减少计算时间，还可以优化网格大小。

根据为问题域制定的方程的性质，有限差分法分为显式和隐式有限差分法。

区分显式和隐式有限差分法

在有限差分法的变体中，总是使用显式和隐式有限差分法。

显式有限差分法

求解方程时，若直接从已知值求出某一时间层次的因变量，则构成显式有限差分法。考虑等式：

在此等式中，时间点 (n+1) 处的 y 值取决于时间 n 处的变量 x 和时间步长 n 处的 y 函数。该等式意味着执行计算是为了使用先前时间步长的数量及时获得前向值。这种类型的有限差分格式被称为显式的。

然而，在某些表达式中，向前时间步的输出取决于它自己。隐式有限差分法用于解决此类问题。

隐式有限差分法

如果将未来时间水平的未知量用该时间水平的变量和过去、现在、未来时间的变量来表示，就形成了隐式有限差分法。

   考虑等式：

^{这里，第 (n+1)个}时间步的y取决于第 n^个时间步的 x 值和第 (n+1) 个时刻的 f(y) 的函数。等式中没有明确的关系。这需要隐式有限差分法。

使用隐式有限差分法解决问题

隐式有限差分法一般用于求解对时间步长没有限制的问题。该方法用于求解热传导方程、定常和非定常无粘性和粘性可压缩流、扩散方程、电磁问题和计算涡流尾流。

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