正交试验设计与数值模拟结合，探索极值与优化方案

1. Introduction

简介

工程与科研工作过程中经常需要找到某种指标取得极值时相应的参数组合。当研究对象的机制还不明朗时，利用计算机数值仿真大大降低了试验试错的成本。所以，很多时候优化问题变成了下面这种格式。

   for a=1:1:100

       for b=1:1:100

           for c=1:1:100

               for d=1:1:100

               end

           end

       end

   end

把繁琐交给计算机，倒是也没有错。但是动则高大上的智能优化算法或者暴力运算，对小白而言确实有点犯怵。

相比较而言，“正交试验设计+数值模拟”似乎是更加友好的方式，让你更快地探究你的研究对象。尤其正交试验设计（Orthogonal design）的直观分析法（The direct analysis method），确实简单好用。

2. The Direct Analysis Method

直观分析怎么分析：以构件的极限承载力为例

图1

图1的构件，常被用作建筑结构中的耗能构件。但是需要评估其极限承载力，以便于连接预埋件的设计。

正交试验设计是一种多因素试验方法，我们可以采用这一方法进行数值试验，计算图1转角为0.1rad时构件的力（无量处理为Ω0.1=V0.1/Vy） ；并评估使得这个力最大时构件几何参数以及最大力的数值。

选择板厚tw，高度hw，构件长度e，翼板宽度bf，腹板厚度tf作为重点研究的指标。选取正交表L16 (4^5)，其中“5”代表有5个参数，“4”代表每个参数取四个参数水平，“16”代表按照正交表只需要进行16次计算分析，就能得到近似极值的参数组合。(如果每个参数取4各水平for循环一下，那就是4×4×4×4×4=1024次，16 vs. 1024 ，呵呵~）

例如本例可以通过有限元分析得到16个正交组合参数情况下的构件极限力，如表1所示。

表1 Parameters and FE analysis results of orthogonal test

值得注意是，每个因素（tw，hw，e，bf，tf）在表1中均出现了4次。例如tw=8mm（level-1）在的列中出现了4次，hw= 500mm (level-2)在hw所在列中出现了4次。如果我们定义Tlevel1是这level-1对应四次仿真结果的和，那么可以计算这四次的平均结果为mlevel1=(Tlevel1)/4。类似的，我们分别计算每个因素（tw，hw，e，bf，tf）在每个水平下有限元计算结果的平均值。

到这里，我们通过正交参数组合，通过有限元计算得到了每个参数在每个水准下目标指标（本例的指标为Ω0.1）的平均值。不同水准下的平均值波动大，则表明这个参数对目标指标的影响较大；每个参数都有一个对应平均目标指标m最大的参数水平，将水平作组合就是要找的优化结果（或者说近似的最值）。

为了让直观分析更加直观，可以绘制每个因素各自水平的平均结果，如图2所示：5个折线的峰值点去组合一下，就是我们要找的使目标指标（本例指标为Ω0.1）最大的参数组合；5个折线的最低点去组合一下，就是我们要找的使目标指标（本例指标为Ω0.1）最小的参数组合。

图2 Average overstrength factors corresponding to the different level

最后，验证一下，根据图2组合得到的Case No.17 计算结果确实很大，如图3所示。

图3 Loading rotation angle–V/Vp for monotonic loading

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