Abaqus中非线性薄层单元、零厚度Cohesive单元及Goodman接触单元等形式与构建应用

在使用Abaqus，Comsol等软件进行薄层区域的力学分析过程中，例如在研究水压致裂、裂缝扩展，接触粘结滑移的这类薄层力学性质时，我们经常需要采用应力-相对位移(σ-u)关系，而不是传统本构描述的应力-应变(σ-ε)关系来描述，例如Abaqus里面的Cohesive单元，Goodman单元，以及Comsol里的弹性薄层（在后面我把这类单元统称为增量非线性力学薄层）。这类单元厚度非常小甚至为0，薄层两侧的节点（单元）用一组力（应力）与相对位移的关系方程联系起来，例如给出一个形式最为简单的典型应力-位移方程

此方程描述了1,2,3方向（通常是法向和两个切向）上相对位移与应力的关系，应力与相对位移呈线性关系，类似于“线性弹簧”。但是对于土-结构接触、裂缝的张开闭合这类问题，线性方程已经不足以准确描述这些物理量之间的关系，这时就需要引入增量非线性方程来构建薄层单元。

引入增量非线性薄层的概念之前，首先介绍一下全量非线性薄层以理解非线性的概念，首先给出以下公式

这是一个全量非线性薄层，其非线性的表现可以用下面几个例子体现，

对比①和②项，可以发现仅存在3方向上的位移变化的情况下，1，2方向上的力也会发生改变，体现了弹簧三个方向力学性质的非独立性，对比①和③项，可以发现力的大小并不和位移大小成正比，也就是非线性特征。

所以对于增量非线性方程，就是把应力-位移关系方程写成应力增量-位移增量的关系方程，例如

写成微分形式的好处是，可以体现出应力路径对位移结果的影响，也就是类似于“塑性”特征（所以所有的弹塑性本构也都是增量方程）。但是对于此类微分方程的求解，必须给定一个力的初始值。

假设我们给定力的初始值σ=[0,0,0]^T并且给定两次相同的位移增量Δu=[1,1,1]^T（这里采用向后差分法，引入时间变量，并对时间变量向后差分，也就是，），来看看力是如何变化的。

（初始条件）

通过增量方程，得到t₀与t₁时刻的增量矩阵以及t₁时刻与t₂时刻的力

对比可得，同样的位移增量Δu，在不同的初始σ值下，会得到不同的Δσ值（标红），这就是一个典型的应力-位移的增量分析非线性方程，其可以写成以下形式

这就是增量非线性薄层的基本方程形式，根据矩阵中9个分量元素的不同不同可以构建力学性质不同的薄层单元，最用应用于数值模拟软件中。

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