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这个针对ductile material主要有两种准则可以定义。Ductile fracture of metals可以做剪切也可以做拉伸。这个拉伸的行为就是在拉伸的过程中在材料中间会开始慢慢的产生孔隙，持续拉伸的孔隙就会聚合到直到形成一个断裂面。
下面这个sheet metal forming 主要是针对sheet metal 的成型的准则。这个准则主要就是有最大主应变跟最小主应变来去作为它判断的依据。如果达到破坏的时候，就可以看到这个薄板在成型的过程中就会破裂。
要讲这个progressive damage ，最主要我们都还是要回到这张应力应变图来看。
之前介绍的就是elastic 加上plastic。
如果plastic定义的很完整的话，他就会一直往前往往后延伸，然后直到破坏。但在中间的过程里面，实际上我们还是必须得加上一个damage initiation判断在变形的过程中是不是有达到某一种形式的破坏准则。那如果没有达到还没有达到准则的话，就会持续的往后发展。在plastic里面，如果在塑性段的某一个点做了unloading之后，材料的应力会沿着一直斜率下降，在这里面是把这一段的应变定为塑性应变。但是如果在damage 准则里再发生破坏，这个点他回退回来的这个点，我们将这一段的应变称为fracture strain。
在达到破坏准则之后，所走的路径叫做damage response。在abaqus里面就叫做damage evolution。我们首先看sheet metal forming，这个sheet metal forming有一些破坏准则，这些破坏准则主要都是FLD 为主。其他是依据不同的破坏类型。
提供了不一样的破坏模式，也就是不一样的参数所计算出来的这个破坏准则。
这几种破坏模式是指plane stress，就是平面应力元素，它是一个shell，他没有三方向的，就是另外的应力。以及这种shell，continuum shell,membrane lelments使用的。
damage iniation for ductile damage,我们直接看下图，它是以一个应力三轴度跟fracture strain来描述。
这个应力三轴度的公式是-p/q ， p 跟 q的内容的公式分别把它列在下面。
我们可以试想，当我们做了一个单拉实验的时候，应力三轴度是多少呢？我们可以把这个σ22当成是拉伸方向的应力。那σ11跟σ33就会趋近于0。也就是说σ11、σ22、σ33分别会是0、1、0。所以这个p 的这个值就会是负的三分之一。那q 呢？我们把0、1、0代进去，就会发现我们只有σ22平方，这个地方会有p的这个值。所以呢。q 分之p 就会变成三分之一也就是0.33。我们就可以对应到上图图表上面，0.33的这个位置对应单拉实验的破坏的这个应变，我们就可以在这在这个图纸上面点上一点，也就是说。做了一个单拉实验，只有在只是代表这个破坏准则的其中一个点，其他的应力三轴度必须去做不同的实验，
才可以把这个破坏准则描述的比较完整。后面会在条列出一些实验的这个方式，不过基本上，这个实验要做的完整是比较困难的，但实物上的做法，我们可以借由单拉实验的这个点，然后这种ductile damage 的这种趋势，我们把它作为一个猜测调整。从这张图表上面可以发现，应力三轴度只要大于零，表示材料是受拉的一个状况，他的破坏应变就会相当相当的小。如果靠压力侧的话，它可以承受的应变就会相对着大很多。在实物上要怎么样去调整这一条破坏准则？这是在我们没有办法取得完整实验的情况下的一个变通的做法。
我们可以先依据这个推测破坏准则去做些设定，再根据我们的实验，就是根据产品的实际实验去比对一下模型跟产品之间，就是比较他有坏掉跟没有坏掉的地方。我们去把这个相对的应力三轴度跟破坏应变取出来，然后我们就可以依据实际产品的状况来调整这条破坏准则。这个是一个比较变通的做法。
至于设定的方式，就只要在material 里面找到ductile damage ，我们就可以输入这个应力三轴度跟fracture strain以及应变率。所以刚刚上图只有做一个静态的，我们假设它是一个静态的一个破坏准则。
Strain rate=0的情况下，那如果Strain rate比较高的时候，破坏应变基本上这条线它会往内。所以在这个破坏准则里面，我们也可以给不同的应变率，给不同的应变率，跟设定塑性的方式是一样的。在设定output的时候，我们要记得去输出这个traiax，以及peeqr(塑性应变率)，DUCTCAT。status 务必一定要记得输出。如果不输出的话，在以后在odb 的结果里面就会看到一个变形很奇怪的元素，因为它变形会很大很大，有输出这个status 之后，他就会把这个失效的元素做移除。
Shear damage crirerion的话，跟ductile damage crirerion类似，只是说他的这个频段的方式不一样，他的x 轴变成shear stress ratio。计算公式在左边。我们可以把我们的实验结果剪最大剪应力跟他的角度，把它换成这两个轴，那去找出ks 这个参数ks 这个参数就是我们的材料系数。这个材料系数必须输入abaqus里面。它也会跟这个应变率有关，所以它的趋势是这样，在没有办法取得完整的实验下，我们就类似的曲率来先做一个设定，再根据实际产品的情况去做调整。
设定的方式就在material 里面去找到shear damage，第一个先输入这个ks。以及shear stress ratio 以及fracture strain，strain rate。在设定output的时候，我们要记得去输出这个SHRRATIO，以及peeqr(塑性应变率)，SHRCRT。那这两种破坏模式，一个DUCTILE，一个是SHEAR，这两种模式都可以输入在同一个材料里面。这样子做的用意是说，当我们在分析一个问题的时候，它的破坏模式可能不仅仅是一种，我们如果有越多越完整的材料破坏模式输入进去的话，想当然就可以比较趋近真实的实际情况。
上述讲的都是破坏准则，那达到破坏准则之后，材料的应力应变路线又该怎么走？
，abaqus是利用这公式做unloading 的描述。
我们就可以直接看下图应力应变曲线图。
材料开始拉伸到某一个点，达到破坏准则的时候。当材料达到破坏的时候，如果d=0的话，它就会直接的坏掉，softening曲线，是持续拉伸路径，但一般来实验机台可能得不到这一段的完整资讯，通常都是拉到一个点之后，已经没有数据了。这种情况的话，材料达到破坏准则之后，材料可以累积的应变能是非常非常小的，所以等一下我们再设定damage evolution 的时候，我们可以用能量的方式或者是位移的方式来表示，来表示材料达到破坏之后可以累积的应变能是多少，假设damage evolution 是描述的是softening曲线，在这个中间过程中，又做了unloading 的动作，表示材料没有真的完全达到破坏，就可以用d 值控制unloading 路线。不过一般这个是比较少用，一般都是直接定义材料达到破坏的时候可以累积应变的会非常非常小的这种概念来描述材料模型。
damage evolution 里面有两种方式，我们第一个介绍的是displacement。那另外一个是energy 的方式。可以看到a、b、c图都是描述的是softening曲线，或达到破坏之后的这一段曲线，你该怎么描述？
描述的方式当然包含了linear、tabular exponential，这个可以给各位自行去做定义，如果有这个完整的实验应力应变曲线，可以依据这三种方式做设定。
如果你没有的话，就依照energy 的方式来描述。他同样提供了linear、tabular exponential三种方式来定义。
这里所定义的energy 指的就是应变能。应变能就是应力应变图所围的面积。所以工程上面做的方式通常选择energy，然后直接选择linear就可以。然后fracture energy 应力破坏能给一个很小的值，比如说0.001、0.1，只要一达到破坏，材料就没有办法再承受其他的应变能。
接着我们来看一个例子，这是一个chamber，上面用一个钢板往下去做积压。左边这张图的话就是quasi-static的一个反应，就是慢慢的往下压。
我们看一下模型的定义。在这个模型里面，上面是用一块钢板，chamber是铝材。
其他大概就是一些模型的基本设定，我们主要来看材料的地方，材料地方设定ductile damadge。当材料应变率越大的时候，理论上材料是变硬变脆，应变会变小。所以应变率曲线会往内缩。设定的内容就是在这个下方，我们就要把上面这个图表内容依照应力三轴度跟fracture strain、strain rate依序的把它填在这个表格里面就可以。
同样的shear damage也是用同样的方式把它输入在这个shear damage 破坏条件里面，记得要补上材料参数k s。
设定完成之后，我们来看一下分析结果。
左边这张图就是刚刚那个quasi-static 实际的实验结果。如果我们是只有单纯的使用ductile damage 或者shear damage，分析的结果就会如右边的这个图一样。这个情况是没有使用damage evolution，只有crterion，续所以他的分析结果我就不会是这样这样子实验的结果，我们必须搭配damage evolution ，我们才可以压到跟刚刚一样的这个结果。
中间这张图同样的实验，只是我们是用比较快速的方式直接往下压载。可以发现这个铝材的chamber 会发生一些破裂的行为。我们在这个abaqus里面我们同样是使用了这个damage evolution ，材料破坏参数里面还有包含着应变率。所以我们同样的可以模拟出这个破坏的行为。结果就会蛮类似的。
接着讲一下这个有发生破坏的接触行为。这个例子就是钢球那会穿过一个材料。一般来说预测的情况使用的通用接触设定在这个板材的外表面。但是我们要做破坏分析的时候，我们必须设定一个surface。那这surface必须改用mesh方式。也就是我把每一个零件里面每一个元素的表面,包含内部的元素表面也都把它设定成接触行为。在设定这个设备的时候，要记得注意把这个筛选器改成内外表面都要选取,这样才可以选举到所有的元素表面。
然后在我们的general contact里面,预设是all with self, 我们需特别去指定这个surface pair ，去指定我们刚刚设定设备是surface以及自接触，这样子就可以设定完成。
接着要介绍这个constant fracture strain ，意思就是说可以看到每一个应变率都只给一个数列。也就是说这边应力三轴度全部为0，然后给一个fracture strain。
这代表说，只要在这个应变率下，fracture strain只要达到0.3就是破坏。那只要在应变率是1 的时候，只要达到0.2，元素就会发生破坏，这是一constant fracture strain 的设定方式。
如果是johnson-cook的话，我们就是可以看有没有办法找到这样子的材料参数来去做设定。
那这个是描述应力的部分。另外还有另外一种描述应变的，同样是johnson-cook，以后有不一样的参数，但是我们都要把它想办法把它转换成abaqus里面所需要的参数，abaqu 里面的公式是用应力公式来做描述的，所以我们要把系数转成abaqus里要的系数才可以去做设定.
另外一个的话就是bw（Bao-Wierzbici’s）in ductile damage。bw 这个的话，它的我们可以看一下这张图，它的坐标轴一样应力三轴度跟fracture strain。
跟我们在设定damage 坐标轴是一样的。只是他的破坏形式分成好几个区间
各位可以看到在压缩侧这边，他会是一个shear crack。那在大于0.33之后，它会是一个拉伸的破坏,这条曲线就跟我们在设定ductile damage 的时候是很类似的。在中间这边有一段过渡的区间叫做mixed mode，结合了shear crack跟tensile的一个破坏。
我们来比较一下我们刚刚所介绍的三种，一个就是constant，一个应变率下，我指定了一个破坏的应变。他就是一整条一是一个水平线的状况，一条就是bw 的破坏准则,最后是johnson-cook。
它都是在同一个坐标轴底下的一个描述，可以比较容易看出他的差异。那我们这边做了一个实验，跟这个破坏模型的比较。先看一下这个constant。constant fracture strength. ，然后我们去做这样子模型的一个测试。我们可以看到它破坏的区域就是这边黑色的这些区域，包含这个线段。但如果我先是用johnson cook 去做分析，那破坏区域破坏的元素会是这样子。那我如果是用b w的这个破坏模式的话，它的破坏区域就是旁边大概就是两条线。
如果是实际的结果,直接去做分做实验的话，它的破坏形式是下图，所以比较起来，跟这三种破坏模式比较起来，以bw 的这个会是比较靠近实验结果。所以各位要跟时间去做比对的时候，务必先把不同的破坏模式，记得都要先测试一遍，因为我们并不了解实际实验他会遇到的破坏准则是哪一种。所以必须先做一个benchmark 来做一下比较会比较好，后续在做产品的评估会比较实际一些。
另外一个例子，金属底座承受一个压缩扭转的测试，我们可以看一下分析的结果。
在这个分析的设定里面，我们可以看一下我们设定的ductile damage 这个曲线如下图，我们是根据一个真应力真应变的曲线去推算出来说他的应力三轴度，跟它拉伸应力的应力三轴度也就是0.33。那它的这时候fracture strain 是0.0224，这个计算方式在后面的地方会有说明，是更正的，需要被更正。因为在破坏时的这个fracture strain，必须以依照本身的原本的e值去做回推。去做一个斜线的回退，这里的是fracture strain。所以这个数值是有一些错误的。
我们看一下分析，要分析的结果里面，实际的受力和分析的这个受力误差大概4%左右，而且破裂位置是相同的。
另外是扭转的测试。
那极限荷载和实际荷载误差也是很接近的，而且破裂位置是相同的。
那如果呢我们在这个分析里面，如果我们忽略了这个应力三轴度跟塑性应变的关系。也就是说我们如果只是采用constant fracture strain的话，那分析结果就会不一样，就是破裂位置会不一样。所以各位请务必记得，一定要把这ductile damage这个这个曲线尽可能的描述的完整一些。
这是刚刚前面提到要跟需要更正的地方，就是我们必须依照原本的材料的E值去回退回来。
，这里才是它的破坏的这个fracture strain这种必须去将这个值这条曲线去做一个微调。
我们再回到应力应变曲线图来看，这时候各位带回来看这张图应该比较明确知们现在在做的事情。
就是材料一般杨氏模量到达屈服之后，开始进入塑性段，塑性段中间可能会有一个最大的极限极限强度。
这个过程只要发生屈服之后，他就会开始去进行ductile damage准则的评估。直到它破坏达到破坏准则这个点之后，我们会再用damage evolution来描述他的最后所可以累积的应变能。所以各位一定要记得fracture strain，一定要先按照原本的斜率先回退回来之后这一段才是我们要的fracture strain。
最后列了几个应力三轴度的实验，这些实验可能都不是很好做，而且要去先取得相对应的规范和包含单拉试验还有一个有纳气的这种细片，他都可以做出不一样的应力三轴度。然后可以去对应到这个fracture strain来完整的描述我们的ductile damage。如果是shear damage的，也有不一样的这个ratio 我可以去做实验。
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