SiPESC形状优化：参数化几何建模的力量

研究背景

形状优化

目前，传统的设计方法在结构设计中仍占很大比重，设计中存在着大量的简化和经验，通常难以得到最优设计，设计出的结构也难以满足现代工业的要求。随着计算机技术的迅猛发展，以有限元法为核心的优化设计方法迅速发展。相比于传统的设计方法，优化设计方法大大降低了设计的时间和成本，往往能设计出最优的结构。

形状优化是机械和结构优化领域的一个重要分支。在机械和结构设计中，存在最佳过渡曲线形状、结构最佳形状等形状设计间题，因此形状优化有着潜在的应用前景。形状优化面临的主要问题有几何建模、形状灵敏度分析、网格重划分等几个方面。

形状优化方案

目前，工程上主流的形状优化工具有iSight、Optimus等。其形状优化思路基本相同：①采用商业CAD软件进行参数化建模；②根据设计变量及摄动后的设计变量（摄动值用于计算灵敏度），调用商业CAD软件提供的API对几何参数进行更新并生成多个几何文件；③采用商业CAE网格工具对多个几何模型进行自动网格划分，生成多个有限元模型文件；④对所有的限元模型进行求解，并采用差分法计算灵敏度；⑤形状参数优化。

为了能够让优化过程自动循环，主流软件基本都自带了脚本驱动功能。通过脚本自动执行上面的每一步，直至优化问题收敛。

存在的问题

目前主流的形状优化方案仍存在以下问题：

• 需要集成至少三款软件（CAD软件、CAE软件、OPT优化软件），成本高
• 差分法灵敏度计算效率低
• 有限元网格局部重划分容易引起网格畸变

目前，SiPESC具备了CAD、CAE、OPT三种功能，可有效降低采购成本。

本文最后详细介绍了一下“形状优化面临的问题”，目前仍有很多问题有待进一步研究解决。

高效通用灵敏度分析方案

高效的灵敏度分析是提高优化效率的关键，已有的灵敏度求解方法包括差分法、解析法与半解析法。

• 差分法计算灵敏度十分简单，但效率很低。
• 解析法通过推导得到灵敏度公式，计算效率和精度都较高，但推导公式并编程通常复杂且困难，也不具有通用性。
• 半解析法是差分法与解析法的综合，采用差分法计算单元刚度阵等，采用解析法计算指标函数对单元刚度阵等的灵敏度。

SiPESC通过三方面提高灵敏度分析效率与通用性：

1. 采用半解析灵敏分析方法
2. 通过几何面与有限元节点映射关系有限元模型需要摄动的节点及节点摄动量（采用几何面内坐标系确定节点摄动量，摄动更精确，更符合实际）
3. 通过节点与单元映射关系，确定摄动节点相关单元，利用局部单元计算灵敏度，计算效率更高。

对于复杂工程结构（例如：光机机床），与几何设计变量相关的单元很少（甚至达不到1%），即大部分单元与灵敏度分析无关。利用此特征可大大提高半解析灵敏度分析效率。如下图，选择立方体高度为设计变量时，设计变量摄动后，可认为图中仅灰色面移动。与该设计变量的灵敏度相关的单元是与立方体灰色面相关的单元（蓝色单元）。SiPESC提供了确定蓝色单元的方法，此方法大大降低灵敏度求解时间。

同时，摄动设计变量引起灰色面的偏移后，不再重新划分网格，通过移动与面相关联的节点实现（因摄动量很小，不会引起网格畸变）。

半解析灵敏度分析精度改进

在分析类梁结构时，如果使用形状参数作为设计变量时，误差会随着摄动步长增大以及单元数目增多而变得尤为明显，究其原因主要在于单元的刚体转动。

为解决此问题，SiPESC半解析灵敏度分析引入了修正项。以下是对半解析灵敏度分析修正项的测试，测试采用如图所示悬臂梁模型（100x15x10），左端固支，右端中心施加竖直向下集中力，对静力位移灵敏度分析在有修正、无 修正、整体差分三种情况下的计算结果进行对比。

结果显示，在有修正项的结果中，分析得到的灵敏度较稳定，无 修正项分析得到的灵敏度随摄动步长变化较大。受有限元分析误差影响，整体差分灵敏度受网格大小和摄动步长的影响更大。

根据材料力学理论，此梁端部位移为：1.275917，灵敏度为：0.38277512。

SiPESC形状优化方案及实例

形状优化的过程分为参数化建模、摄动节点提取、有限元分析、灵敏度分析和形状优化，这些过程都是在SiPESC平台上通过python脚本完成。

1) 参数化建模

SiPESC平台可以实现布尔运算、拉伸、旋转、曲面建模等几何建模功能。参数化建模全部基于SiPESC平台实现，主要过程分为：

• 创建几何模型：通过创建点、线、面、实体创建出要优化的模型。要修改模型的尺寸只需通过修改相关函数的参数即可。
• 赋予相关属性：在脚本中通过给不同的面赋予不同的颜色，可以达到给指定的面施加约束、载荷、材料属性。修改属性的方法与创建几何模型相同。

将创建出来的几何模型保存为*.step文件，有限元模型保存为*.bdf文件。

2) 灵敏度分析

首先确定设计变量相关几何面，并记录几何面上的有限元节点。然后给设计变量增加一个微小的摄动量，通过参数化建模得到变化后的新几何模型。再通过几何面内坐标系与整体坐标系转换关系，确定原几何面上节点对应的新几何面内的摄动节点。最后计算摄动前后的节点坐标差值（灵敏度分析需要的参数）。整个过程只需要划分一次网格，只一次有限元分析，仅计算部分单元刚度阵的差分，大大减少了计算量，提高了计算效率。流程如图：

将计算得到的坐标差值（扰动值）作为设计变量参数，通过脚本调用半解析法灵敏度分析插件计算得到静力位移对设计变量的灵敏度，进一步通过SiPESC.OPT进行形状优化。

3) 优化算法

SiPESC平台集成了多种优化算法，例如移动渐近线算法（CMMA）、序列线性算法（SLP）、序列二次规划算法（SQP）和智能算法等多种算法。

优化过程的部分脚本

4) 算例

对如图所示的悬臂梁进行形状优化，l = 100，w = 15，h = 10。弹性模量E= 2.09e7，泊松比0.28，密度7.3e-3，悬臂梁受1e8的载荷。

设计变量为悬臂梁的高度，设计变量初始值、上限、下限分别为10、10.5、9.5。约束为梁的自由端Z方向位移不超过0.13。

选择移动渐近线算法（MMA）对优化问题进行求解，优化结果为9.73878。

形状优化面临的一些问题

SiPESC

1) 形状优化的几何建模

所谓形状优化的几何建模，即是采用合适的方法来描述待优化的几何形状的边界，而这一边界在优化过程中是不断变化的。几何建模是形状优化要解决的首要问题，因为几何形状的描述方式直接影响着设计变量的表达、结构有限元分析误差、敏度分析及优化方法等这些形状优化的关键问题。描述边界形状的常用方法有：使用结构离散模型边界节点的坐标作为设计变量，利用这种设计变量的变化来描述边界形状;使用多项式函数来描述边界形状;使用样条函数来描述边界形状以及在微分几何的Frenet标架下来描述边界形状等。通过几何建模，可以使可变形状得到合理的描述，可方便地控制优化边界单元的密度和重划分，同时可减少形状设计变量数目。

2) 形状敏度分析

形状优化的算法大都需要获得结构状态响应对形状设计变量的导数信息，这就需要进行形状敏度分析。它涉及到单元刚度矩阵与设计变量之间的复杂非线性关系，因而其敏度分析及计算相对结构尺寸优化来说要困难得多，并且计算量也要大得多。形状敏度分析直接影响结构状态响应对形状设计变量导数的数值计算精度和计算效率，而形状优化敏度分析的计算量往往要占到整个优化过程的一半。因此，提高形状优化敏度分析的计算效率和计算精度有着重要意义。

3) 有限元网格自动重划分

形状优化迭代过程中，由于设计变量的变化，引起边界形状的相应变化，从而不可避免地引起已划分好的有限元网格也发生变化。如果此时仍然维持原网格的划分方案不变，必然会使网格发生畸变，甚至导致不合法的网格。因此在形状优化过程中，有限元网格自动重划分是必不可少的。

4) 形状优化算法

采用何种优化算法来对形状设计变量进行优化搜索，将直接影响到形状优化的效率。通常优化数值算法有可行方向法、序列线性规划法、序列二次规划法、罚函数法、优化准则法等。可行方向法求解形状优化问题是在每次优化搜索过程中，使用梯度信息寻求一个可行的并且是下降的方向，然后沿该方向作一维搜索，确定合适的搜索步长，获得下一个设计点。这一方法的特点是，每一个新的设计点均是可行设计点，并且优于前一个设计点，因而特别适合于工程优化问题;序列线性规划和序列二次规划法则是分别将原问题转化为一系列线性规划或二次规划问题来求解，而线性规划和二次规划的算法是相当成熟的。

5) 形状优化软件

开发形状优化软件除了需要解决前述的4个关键问题外，还要使整个过程完全自动化。SiPESC已经集成开源几何建模工具OpenCasCade和网格划分工具NetGen，结合有限元分析模块SiPESC.FEMS与集成优化模块SiPESC.OPT，以及半解析灵敏度分析模块。可以形成一个完美的形状优化定制模块。

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