不提 Kronecker delta 函数就不可能解释理论物理。大多数物理学家、数学家和工程师都使用 Kronecker delta 函数来表达复杂的表达式。Kronecker delta 函数是一个强大的张量,有助于压缩和简化长而复杂的表达式。Kronecker delta 函数和 Levi-Civita 张量是技术领域中最流行的两种张量。在本文中,我们将探索 Kronecker delta 函数及其性质。
在理论物理学中,物理学家使用克罗内克δ函数来简洁明了地表达他们的想法。Kronecker delta 函数使用带有下标“i”和“j”的小写希腊字母,表示为δ ij。Kronecker delta 函数δ ij仅取两个值,1 或 0,这就是它被视为二元函数的原因。
Kronecker delta 函数根据两个索引“i”和“j”产生 1 或 0。这两个指数表示维度。例如,如果我们考虑一个三维空间,那么 Kronecker delta 函数索引 i 和 j 可以取值 1、2 和 3。
Kronecker delta 函数的数学定义是:
换句话说,当索引 i 和 j 相等时,Kronecker delta 函数等于 1。当索引 i 和 j 不相等时,Kronecker delta 函数产生 0 值。
以下是下表中克罗内克增量函数的几个示例。
让我们区分单位矩阵和 Kronecker Delta 函数。
考虑一个 3 X 3 单位矩阵:
行和列分别由 i 和 j 表示。可以看出,当i和j相等时,矩阵元素I ij = 1。否则,矩阵元素为零。
从上面给出的数学方程式可以清楚地看出,单位矩阵中的任何一般元素都可以使用 Kronecker delta 函数来编写。
请注意,n 是单位矩阵的维数。
Kronecker delta 函数广泛用于数学、物理和工程。通过应用函数的某些规则,可以简化涉及 Kronecker delta 函数的数学计算。
Kronecker delta 函数表达式中的两个索引(i 和 j)可以互换。
在理论科学中,我们可能会得出 Kronecker delta 函数的乘积。如果 Kronecker delta 函数的乘积包含一个公共索引,则可以将其删除并使用其余索引重写。
考虑乘积δ ik δ kj。在此表达式中,两个 Kronecker delta 函数都包含索引“k”。索引 'k' 可以从表达式中删除,表达式可以重写为
求和索引“k”是收缩的。
考虑乘积 a j δ jk。这里,j 是j和 Kronecker delta 函数中的公共索引。公共索引 'j' 可以从表达式中删除,因子 a j得到另一个索引。该表达式可以重写为
考虑δ ii,其中“i”从 1 变化到 n。当对索引“i”进行求和时,我们得到δ 11 + δ 22 + δ 33 +…………。δ nn。根据对称属性,每个 Kronecker delta 函数产生 1 并给出等于“n”的总和。
张量分析、线性代数和数字信号处理所涉及的数学陈述可以用 Kronecker delta 函数表示为一个方程。如果您是物理学家、数学家或工程师,了解 Kronecker delta 函数有助于您以更简单的方式在数学上定义理论概念。Kronecker delta 函数用于分析多维空间中的问题。
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