非线性温度场分析：材料性能研究的新视角

1、非线性静力问题分类

非线性静力问题主要分为两类，即材料非线性和几何非线性。

材料非线性

材料非线性是由结构材料的非线性性能（如非线性弹性、弹塑性或粘弹性）引起的非线性力学行为，它反映在非线性的应力-应变关系（物理方程）中，在此情况下，材料的线性应力-应变关系不再适用。几种常见的应力-应变模型：

2、几何非线性

几何非线性是指在外力作用下，结构的位移比较大时引起的非线性力学行为。

产生的位移不再远小于结构自身的几何尺度，产生的应变不再远小于1，即应变应该包括位移的二次项。

较大的变形会导致结构的几何形状发生显著的改变，以至平衡方程必须按照变形后的位置来建立。

这种非线性反映在非线性的应变－位移关系（几何方程）中。

几何非线性弹性问题可以分为以下几类：

大应变、小位移

小应变、大位移

小应变、小位移，但位移的平方和应变大小同量级

3、非线性静力问题的求解

1）非线性问题的总体方程

在线性情况下，总体刚度矩阵与应力或应变无关，即总体刚度矩阵是常数矩阵：

对于非线性问题（物理非线性和几何非线性），总体刚度矩阵与应力或应变相关，因为位移有限元法中，应力和应变都是可由位移表示的，所以总体刚度矩阵不再是常数矩阵，而是与位移相关，即：    

可以看出，非线性的求解主要归属非线性方程组的求解。

在有些情况下，荷载项也可能与位移相关，这里主要介绍总体刚度矩阵与位移相关的情况。

2）非线性方程组的求解方法

非线性方程组的求解方法有很多，常见的有：直接迭代法、牛顿法、拟牛顿法（修正牛顿法）、荷载增量法、弧长法等。

直接迭代法（也称割线刚度法）形式简单

牛顿法（也称切线刚度法）具有收敛速度快的优点。

修正牛顿法则提高了计算效率。

几种非线性有限元方程组的常用解法见下页图。

4、非线性静力问题的求解策略

在求解非线性问题时，需要确定荷载步长、收敛准则、收敛精度等。求解策略指如何选择、调整这些参数。

1）荷载步和子步

下图为ANSYS程序中的荷载步和子步示意图

图中表示将载荷分成两个载荷步，即进行两次加载，同时又分别

为这两个载荷步定义了一个和两个子步。

* 子步还可以由程序根据计算情况自动判断的自动步长加载方法。

* 一般说，载荷步分得越多，即每次增加的载荷越少越容易收敛，

但是载荷步增加就会增加求解时间

* 载荷需要逐步增加，需要确定每步增加多少。

* 第一个载荷步的选定需要估算，一般可以做一次线性分析来确定

 第一个载荷步。

2）平衡迭代控制

对于线性分析，直接求解总体平衡方程就可以得到节点位移，对于非线性分析，则需要通过平衡迭代才能得到节点位移。

在哪个载荷步进行迭代、迭代多少次都是可以控制的。比如：第一荷载步不进行平衡迭代，第二荷载步进行平衡迭代，限定次数为2次。

3）收敛精度

收敛精度一般定义为

第i次迭代的增量的模 第i-1次迭代的增量的模

为小于1的实数。“增量”可以是力、位移、能量等。

收敛精度直接关系到求解精度，但无严格的控制标准，可以选用程序给出的推荐收敛精度。

如能顺利算出结果，为使精度再提高一些，则可再提高收敛精度；

如不能算出结果，可适当降低收敛精度

4）收敛准则（收敛判断标准）

几种收敛准则：位移收敛准则、力收敛准则、能量收敛准则等。

收敛准则的选取：位移、力相比较，哪一种量变化大，作为收敛的判断标准比较容易收敛。

在不易判断哪一种量变化大时，建议用能量收敛准则。

5）迭代结束

迭代结束指程序不再继续迭代，结束迭代一般会有三种情况：

a) 达到收敛而结束：已经满足收敛精度。

b) 未达到收敛而结束：尚未收敛，但达到了允许的迭代次数。

如果增大允许的最大迭代次数，可能会收敛。

c) 因发散而结束：尚未收敛，也未达到规定的迭代次数。

6）调整求解策略

调整求解策略系指改变荷载步长、收敛精度、允许的最大迭代次数、应力-应变曲线等。

非线性求解时会遇到不同的情况，比如，不收敛、提高计算精度等，这时可以调整求解策略。

5、例7-1  两柱接触

文件：W7-1.txt(VM191),  Hertz 接触，如图

模型：* 施加一半力。

* 采用位移约束方程，使11-14

连线上的节点位移相同。

目的： 在有限元模型不变，即网格、材料参数等不变情况下，观察收敛精度与允许的最大迭代步数之间的关系。

1）求解正常结束

设置：NEQIT, 30   ! 允许的迭代次数=30

CNVTOL,  F,      , 0.00000001,     ,    ,        !力的误差控制

求解结果：FEM最大位移：0.4183 ，FEM最大接触压力：379.325  

解析解最大位移：0.4181  

2）不收敛结束设置：NEQIT, 3! 允许的迭代次数=3

CNVTOL,  F,      , 0.001,     ,    ,     !力的误差控制

2）求解停止

 设置：

NEQIT, 3  ! 允许的迭代次数=3

CNVTOL,   F,      , 0.001,     ,    ,  !力的误差控制=0.001=0.1%

求解结果：因为未收敛而停机。实际上是因为允许的最大迭代次数已经达到而停机 。  

6、传热形式

7、传热学有限元法

1）温度场变分

根据温度场的控制方程和定解条件，建立如下泛函

取泛函的极值（取泛函的一阶变分等于零），即等价于控制方程和定解条件（除温度边界条件）。

2）温度场有限元方程由一阶变分等于零，得：

将求解域划分为单元后，用单元温度函数之和代替全域的解，边界条件也由相应的单元面/边来表示，则可得温度场总体有限元方程：

4种矩阵：传导、热熔、对流、辐射。

4种边界：给定温度、给定热流、对流、辐射。

8、实例：

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