ABAQUS/Standard与非线性分析基础对比

众所周知,ABAQUS是一款功能非常强大的通用有限元软件,一提到ABAQUS大家首先想到的肯定是其强大的非线性求解功能。那么本篇文章我们将一起研究一下ABAQUS/Standard是怎么求解非线性问题的。在说非线性之前,我们先简单的过一遍线性问题,以便更好的理解非线性,以及非线性的求解。



01. 什么是线性问题

线性问题的定义:在外部载荷的作用下,结构的响应是线性的。比如假设一个线性弹簧在10N的载荷下,伸长1cm。那么当施加20N载荷时,它将会伸长2cm。

ABAQUS/Standard在线性分析中,结构的刚度矩阵只计算一次。通过将新的载荷向量乘以刚度矩阵的逆矩阵(又称柔度矩阵),可得到结构对其他载荷的相应。

ABAQUS/Standard vs. 非线性 (基础篇)的图1

     

02 什么是非线性

非线性结构问题是指结构的刚度随其变形而改变的问题。所有的物理结构均是非线性的。线性只是一种近似,很显然对许多有限元模型比如加工过程 ,冲压,碰撞等分析,线性分析是远远不够的。

由于结构的刚度会时刻改变,所以我们不能像线性问题一样,还是用直接法计算的结构刚度矩阵。在非线性分析中,结构的刚度矩阵必须进行许多次迭代生成计算,因此,这使得非线性的分析相比线性分析昂贵的多。


非线性的来源:

1.    材料非线性,比如材料的应力-应变关系成非线性

2.    边界非线性,比如结构在变形的过程过中生接触,使得整个结构的边界条件发生变化

3.    几何非线性,大转动扰动,突然的翻转,屈曲现象等。

ABAQUS/Standard vs. 非线性 (基础篇)的图2


03 非线性问题的求解

非线性问题求解的实质就是求解静态平衡方程,【P - I = 0】。外载荷P必须与内应力I互相平衡。

ABAQUS/Standard vs. 非线性 (基础篇)的图3

   
ABAQUS/Standard应用迭代算法获得非线性问题的解答,通过把总的外部载荷,分成若干个小的载荷,增量的施加给结构,逐步的获取最终的解答。



ABOUT STEPS,INCREMENTS,ITERATIONS!

这三个概念是Standard求解器非常重要的概念,弄清楚三者的含义,以及他们之间的关系非常重要。下面我们通过一个实际的小例子来看一下,假设圆柱受到一个刚性板约10000N的载荷向下压。

ABAQUS/Standard vs. 非线性 (基础篇)的图4

ABAQUS/Standard vs. 非线性 (基础篇)的图5

分析步:这里我们可以将这个问题分为2个STEP来计算。

1.    STEP1施加一个很小的载荷比如10N,使得上板与下板之间的接触关系稳定。

2.    STEP2经过第一步,接触已稳定建立,这时就可以将剩余的载荷在STEP2中施加到圆柱上。

增量步:我们假设在STEP2中,我们设置了1000个增量步,也就意味着,剩余的载荷将会分成1000份来逐步施加到圆柱上。

迭代步:迭代步是在一个增量步中寻找平衡解答的一次尝试。在迭代结束后,如果模型不处于平衡状态,那么就会采用新一轮的迭代步进行尝试。一个增量步中需要多次的迭代才能找到可以接受的解答。



04 平衡迭代和收敛判断

ABAQUS/Standard求解器对于一个小的载荷增量△P,结构的非线性如下图所示:

ABAQUS/Standard vs. 非线性 (基础篇)的图6

平衡迭代:

  • 已知△P和结构在U0处的切向刚度K0, 计算出修正位移Ca。Ca = △P / K0
  • 利用Ca,将结构更新到Ua处。Ua = U0 + Ca
  • 基于结构的更新构形Ua,并形成新的刚度Ka,随之计算出新的内部作用力Ia。 Ia = I(Ua)
  • 计算迭代残差力Ra;Ra = P – Ia


收敛判断:

  • 对迭代残差力Ra的比较,如果Ra小于平均力的0.5%,那么接受此解。
  • 对修正位移Ca的比较,如果Ca小于总的增量位移,那么接受此解。
  • 当俩个判断标准均满足时,Solver接受此解,并写入结果文件,进行下一个增量步的计算。


如果上述条件不满足时,将会进行下一次迭代,如下图所示。此时solver采用Ua处的切向刚度Ka来计算Cb,并更新Ib,获得Rb后对Rb以及Cb进行收敛判断

ABAQUS/Standard vs. 非线性 (基础篇)的图7

ABAQUS/Standard vs. 非线性 (基础篇)的图8

为了更清楚了解平衡迭代的过程,将其步骤整理成流程表,如下所示:

ABAQUS/Standard vs. 非线性 (基础篇)的图9

ABAQUS/Standard vs. 非线性 (基础篇)的图10



05 Static, general分析步

本小节,我们将进入ABAQUS/CAE界面。观察下Static,general分析步在做非线性的时候有哪些设置,以及这些设置的含义。

ABAQUS/Standard vs. 非线性 (基础篇)的图11


[Basic 选项卡]

  • Description:描述,可以写一些对分析步的描述信息,方便他人观察
  • Time period: 默认1,并非实际物理意义上的1秒。意思就是这个分析步的整体为1。
  • NLgeom: 几何非线性开关,做非线性的时候打开
  • Automatic stabiization: 自动稳定控制,不推荐打开。这个功能将会引入人工能来帮助求解器稳定求解。


[Increment 选项卡]

  • Type: Automatic, 自动增量控制选项,推荐。
  • Maximum number of increments: 最大增量步数,推荐设大一点,这个选项对计算速度精度没有任何影响,只是控制增量步数,如果你的计算中增量步数超过设定值,软件就会抛出错误。
  • Increment Size:增量步大小,intial size确定初始增量步大小,推荐设置的小一点,帮助求解器更容易获得收敛的解。Min Size,增量步最小值,当增量步小于这个值,软件将自动中止分析。Max Size,增量步最大值,控制增量步的最大值。

ABAQUS/Standard vs. 非线性 (基础篇)的图14ABAQUS/Standard vs. 非线性 (基础篇)的图15


[Other 选项卡]

  • Method:Solver求解方法,直接法和迭代法
  • Solution Technique: 求解技术,分为Full Newton和Quasi-Newton, 两者之间的最大差距就是,Full Newton在每个迭代步中结构的刚度矩阵都会重新生成,而Quasi-Newton默认下,每8个增量步才会重新生成刚度矩阵。
  • Extrapolation: 外推。默认Linear,非线性分析步的第一个增量步之后的每一个增量上,ABAQUS/Standard通过从前面的增量外推解来评估当前增量的解。默认情况下,使用100%的线性外推。如果Ti ≤ DE * Ti-1,则放弃外推,DE默认为0.1。

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