从入门到进阶：ABAQUS用户定义单元UEL与VUEL详解

给大家简单讲一讲ABAQUS中的压电耦合单元C3D8E。

那么什么叫压电耦合单元呢，简单的说就是你给它加载电压（电势的差，ABAQUS中为位移加载），那么就会引起单元力学场的变化，比如位移、应力、应变等等；同样的你给它加载力或者位移，亦会引起单元电场的变化。

单元压电耦合场的广义本构方程表示如下：

即为：广义应力=广义弹性矩阵·广义应变。其中广义力中D为电位移，广义应变中E为电场强度。

在广义弹性矩阵中，C矩阵为力学场的弹性矩阵，e矩阵为压电常数矩阵，右下角为介电常数矩阵。亦可展开如下表示（某种材料的参数，如果是特殊材料e矩阵中非0常数会更多或者更少，由材料本身决定）。

本构关系的张量表达式为：

其中，广义应变的有限元格式可表示为：

其中，电场强度E为负的电势梯度：

则广义应变列阵记为：

那么，单元的刚度矩阵可以表示为：

其中Kuu为C3D8原本的刚度矩阵，Kuv与Kvu为压电耦合刚度矩阵，Kvv为电场的广义刚度矩阵。

ABAQUS中的C3D8和C3D8E都是做了一些刚度修正的，比如C3D8为了防止单元自锁，采用了B-Bar方法，得出的刚度矩阵是介于C3D8和C3D8R之间的值，同样的C3D8E也有一些类似的修正，以下我将提供一个不包含修正的版本，对ABAQUS刚度修正方法感兴趣的朋友可以去拿去跟ABAQUS CAE对比。

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