数学软件深度分析：MATLAB为何如此强大？

一. MATLAB主要参考书

此处列举六本与MATLAB计算相关的参考书籍：

《高等应用数学问题的MATLAB求解》 薛定宇、陈阳泉著，清华大学出版社

《精通MATLAB科学计算》 王正林等编著 电子工业出版社

《科学计算引论--基于MATLAB的数值分析》 【美】Shoichiro Nakamura 电子工业出版社

《MATLAB与科学计算》王谟然编著 电子工业出版社

《MATLAB 6.0数学手册》 蒲俊等编著 蒲东电子出版社

二. 与数学有关的软件

程序设计语言

BASIC, Pascal, FORTRAN  , C, C++, Java, R, Python ······

数值计算语言

Matlab, Scilab, Octave······

符号计算软件

Mathematica, Maple······

交互式数学软件

MathCAD, Calcwin······

统计软件

SAS, SPSS, Minitab,······

数学规划软件

Lingo, Lindo······

工程计算软件

Ansys, Fluent  , Phoenics······

其他

几何画板， MathLab

三. 数学问题的计算机求解概述

借助手工推导，只能解决部分数学问题。所以，我们需要利用计算机进行求解数学问题。计算机的利用包含以下两个方向：

• 用数值分析技术，从底层编码起：采用成形的数值分析算法或数值软件包，利用纯手工编码进行解决数学问题。
• 用专门的计算机语言进行求解：MATLAB，Mathematic，Maple等

例题1  带参数问题的求解

求以下方程的解。

分析：

在a,c,d是给定数值时，数值分析的方法是可用的；

当不是给定数值时，数值分析的方式不可用。必须使用计算机数学语言来求解。

例题2 时间复杂性

求矩阵的行列式。

分析：

方法：用代数余子式方法。

过程：一个n阶行列式可以表示成n个n-1阶行列式的和，以此类推······。可以把高阶行列式转换为1阶矩阵行列式。

结论：任意矩阵行列式的解析解是存在的。

问题：此方法忽略了可计算性问题。例如n=20，运算次数是，用每秒亿次的银河机需要3000年。所以此方法忽略了复杂度和可行性。

例题3  求解精度的问题

Hilbert矩阵的标准形式如下：

求n=20时，Hilbert矩阵的行列式。

分析：

如果利用传统数值分析的方法，很容易得出矩阵奇异的错误结论。

奇异矩阵：线性代数的概念，对应的行列式等于0的矩阵。

在MATLAB中，在双精度级别下容易快速得到数值解。

MATLAB双精度：double 是 MATLAB中的默认数值数据类型，数值变量自动存储为 64 位（8 字节）双精度浮点值

求解：

MATLAB代码如下：

clc;clear; %准确值H=sym(hilb(20));det1=det(H) %近似值det2=det(hilb(20)) %分析运行时间tic;det(hilb(20));toc

运行结果：

det1 =

   1/2377454716768534509091644243427616440175419837753486493033185331234419759310644585187585766816573773440565759867265558971765638419710793303386582324149811241023554489166154717809635257797836800000000000000000000000000000000000

det2 =7.453419356146346e-196

历时 0.001154 秒。

四. 解析解与数值解

4.1 两者的区别

数学家和工程技术人员的关注点是不一样的：

• 数学家：理论严格证明，存在性
• 工程技术人员：如何直接得出解

例如，以下积分的解析解是不存在的：

于是，数学家就引入符号erf(a)来表示它。当然工程技术人员更关心积分的值，也就是积分的数值解。

解析解在有无理数，无限不循环小数时，是不存在的。于是，数学家便尽量精确取值，而工程技术人员只需要足够精度即可。例如，工程技术人员就常常把取在3.1415926~3.1415927之间。另外，对于高阶矩阵的行列式，解析解虽然存在但是不实用。

4.2 数值解应用场合

• 在力学领域，常用有限元法求解偏微分方程
• 在航空航天与自动控制领域，经常用到数值线性代数与常微分方程的数值解法来解决实际问题
• 在工程与非工程系统的计算机仿真中，核心问题的求解也需要用到各种差分方程，常微分方程的数值解法
• 在高科技的数字信号处理领域，离散的快速Fourier变换（FFT）已经成为其不可或缺的工具

五. 数学运算问题的软件包

此处列举四个享有国际声望的软件包：

• 线性代数：LINPACK
• 矩阵特征值计算：EISPACK
• NAG:Oxford  Numerical Algorithm Group
• 线性代数计算：LaPACK

从历史发展的角度来讲，软件包起了不可替代的作用，同时对计算机数学语言提高了强有力的支撑。由于使用起来比较繁琐，所以我们不能过多依赖它，理应该在计算机语言的意义下更好地利用它。

例题4 设计两个矩阵相乘的计算机通用子程序

底层语言可设计如下：

for (i=0;i<n;i++){  for (j=0;j<m;j++){    c[i][j]=0;    for (k=0;k<L1;k++){      c[i][j]=c[i][j]+a[i][k]*b[k][j];}}}

很明显该矩阵是错误的，未考虑矩阵是否可乘。

添加1：If(L1==L2)，相乘；else 出错信息；

很明显依旧错误，未考虑其中某个矩阵为标量。

添加2：继续添加标量判定

很明显依旧错误，未考虑矩阵为复数矩阵的情况。

可见，用最底层的 编程语言 需要考虑的内容太多，所以调试起来很不容易，容易出现漏洞。

然而，在MATLAB只需要以下命令格式即可实现：

C=A*B

六. 计算机数学语言

Mathematic由Wolfram Research公司开发，Maple由Waterloo Maple公司开发，两者均用来解析运算、数学公式推导和定理证明。

SciLAB软件纯免费，全部的源代码也已经公开。

MATLAB全称MATrix LABoratory，起源于1980年New Mexico University的教授Cleve Moler，当时正赶上状态空间的控制理论的兴起发展阶段，所以此软件主要用于自动控制学科的应用，后来该软件隶属于The Math Works Inc公司。

现如今，MATLAB主要用于数值计算、程序设计等方面，甚至利用符号运算工具箱，可以调用Maple的功能，来进行公式的推导。

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