数值分析揭秘：常微分方程数值解法之线性多步法

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1. 引言

除了Runge-Kutta方法 是否还有提高精度的方法？

回答是肯定的，就是采用前面多个信息，比如:

用 $x_n,x_{n-1},...,x_{n-l}$x_n,x_{n-1},...,x_{n-l} 上的近似 $y_n,y_{n-1},...,y_{n-l}$y_n,y_{n-1},...,y_{n-l} 来求 $y_{n+1}$y_{n+1} ,这样的数值方法称为 多步方法 。

2. 线性多步法 基本概念

2.1 迭代表达式

首先来看个线性二步法的例子，所谓“二步”，就是迭代式右边包括 $y_{n}, y_{n+1}$y_{n}, y_{n+1} 来求 $y_{n+2}$y_{n+2} 。

推导过程如下：

线性多步法的一般形式为：

特别地，根据 $\beta$\beta 是否为0，将迭代表达式分为显式法和隐式法：

线性单步法是线性k步法的特例，例如 $k=1$k=1 有

不同 $\alpha_0, \beta_0, \beta_1$\alpha_0, \beta_0, \beta_1 可得各种显式、隐式单步法。

2.2 局部截断误差，阶，主局部截断误差

局部截断误差，阶，主局部截断误差 的定义和单步法完全一致。处理方式就是使用泰勒展开，可能会有二元函数的泰勒展开。

局部截断误差的定义如下：

主局部截断误差的定义如下：

p阶方法的定义如下：

这个定义包含了线性k步法（当然包含线性单步法)，特别包含了线性隐式单步方法。

3. 一些常见的线性多步法

3.1 显式Adams方法

显式Adams方法的特点是积分区间与插值区间无交集。其迭代表达式的推导如下所示：

来看一个例题：

求解过程如下：

3.2 隐式Adams方法

隐式Adams方法的积分区间是插值区间的最后一段。它的收敛阶数通常比显式Adams方法高。

对比显式Adams方法和隐式Adams方法的收敛阶数 $p$p ：

3.3 预估一校正方法

对于隐式方法，每一节点上近似值用迭代方法得到，这大大增加计算量。若用一个恰当的显式方法,求出 $y_{n+k}$y_{n+k} 作为隐式方法的预估值，然后用隐式方法对预估值作校正，并以这个校正值作为所求节点上的 $y_{n+k}$y_{n+k} ，那么将克服迭代法的缺点。

用Euler方法 作预估，用梯形方法 作校正的预估校正方法 。

通常使用预估校正方法有:

1.Adams-Bashforth-Moulton方法

2.The Milne-Simpson Method

3.The Hamming method

至此数值分析的内容全部结束。

参考文献：

关治，陆金甫《数值方法》