总压平均方法论：Area-Weighted vs Mass-Weighted

如果工质是液体并且截面上的温度分布比较均匀，而且滞止状态离临界点比较远，那么用Mass-Weighted Average计算平均总压比Area-Weighted Average好。如果工质是液体但不满足这些条件或者工质是气体，那么不能确定是Mass-Weighted Average好还是Area-Weighted Average好。总而言之，如果要精确计算的话最好将截面的速度分布、温度分布等等导出到文件里面然后自己进行后处理。

FLUENT后处理模块中有一个计算面积分的功能（Surface Integrals），当计算某个边界的某物理量的平均值时，常常用到Area-Weighted Average（面积加权平均）和Mass-Weighted Average（质量加权平均）两种不同的方法。（图1、图2）

图1  面积加权平均

图2  质量加权平均

对于一些物理量来说，是比较容易选择平均的方法的。例如对于内能应该用质量加权平均，对于速度、压力应该用面积加权平均。但是，对于另外一些物理量来说，却不太容易选择平均的方法，例如“总压”（total pressure）就是这样的一个物理量。由于总压是流体能量可利用程度的度量^[1]，所以在计算流体力学软件的后处理中，总压是经常需要计算的一个量。例如，评价航空发动机进气道性能的时候，就需要计算进气道出口截面的总压，以便计算进气道的总压损失。总压损失越小，说明气流的做功能力损失得越小，即进气道的性能越好。

那么，计算某个截面的平均总压时，应该是用面积加权平均还是质量加权平均呢？乍一看，总压的量纲和压力是一样的，所以似乎应该用面积加权平均，但其实这是不合理的。

为了理解这个问题，我们要明白总压的定义。总压是指将流体速度绝能等熵地滞止到零的时候的压力。形象地说，就是假想让流体绝能等熵地流入一个无限大的容器里，使得其速度滞止到零，则容器里的流体压力就是总压。

如果某个截面上各点的总压不同，该如何平均呢？其实我们按照定义就行了，即假想在这个截面的下游让流体绝能等熵地减速到静止，看看压力变成多少。这其中的关键问题在于，截面上各点的总压本来是不同的，我们怎样让这整个截面的流体绝能等熵地滞止到同一个压力。

根据数值积分中的用分段常数函数逼近连续函数的思想，我们可以把所研究的截面划分成数量足够多的（将数量记作N）部分，然后认为每个部分之内的流动参数是均匀的。然后我们对这N个部分求平均就行了。

基于这样的思想，我们可以先研究这样一个简化的问题，即N=2的情形，物理模型如图3所示。管道的出口截面e被划分为两部分，其面积分别为A₁、A₂。第一部分的静压、静温、马赫数、质量流量、总压、总温分别为

第二部分的相应参数则把下标换成2。（一般来说，两部分的静压是相等的，即p₁=p₂，这里为了让结果更一般化所以没有要求p₁=p₂）

图3  物理模型

现在我们来分析一下，出口截面的平均总压应该是多少。一般来说，两部分的总压p₁^*、p₂^*是不相等的。那怎样求出一个共同的平均总压呢？我们设想从第一部分和第二部分流出的流体分别绝能等熵地减速到静止，然后从这两部分流体中各取出一定的量（其质量的比值等于两部分的质量流量之比），分别放入一个容器的左、右两侧，中间用活塞隔开（图4）。然后，设想左边的流体绝能等熵地膨胀，右边的流体绝能等熵地压缩，直到两边的压力相等为止，这时两侧的共同的压力（记为p^*）就是我们所需要计算的平均总压了。

图4  将两部分的流体通过绝能等熵过程变成同一个压力

如果流体是理想气体（并假定其比热容是常数，绝热指数是k），那么可以推导出这个平均总压p^*应当满足下面的方程（推导过程略）

（1）

而如果按照FLUENT的面积加权平均或者质量加权平均来计算，则平均总压为

面积加权平均：

质量加权平均：

所以，实际上严格来说截面的平均总压既不应该用面积加权平均来计算，也不应该用质量加权平均来计算。通过代入具体的数据来计算也可以说明这一点。例如，假设

并假设工质的绝热指数为k=1.4，则由公式（1）算出的平均总压为1.232MPa，质量加权平均的总压为1.242MPa，而面积加权平均的总压为1.193MPa，即这种情形下是质量加权平均的总压更好一些。但是，如果换另一种情形

则由公式（1）算出的平均总压为4.24699MPa，质量加权平均的总压为4.45196MPa，而面积加权平均的总压为4.35142MPa，即这种情形下是面积加权平均的总压更好一些。

上面讨论的是工质为理想气体的情形。如果工质是液体，也可以在该液体的状态方程的基础上用类似图4的方法算出平均总压。这里不打算详细叙述计算过程，只给出结论。对于液体来说，如果截面的温度比较均匀，而且滞止状态离临界点比较远，那么一般来说质量加权平均的结果比面积加权平均的结果更接近用图4的方法算出的结果。例如，如果工质是水，并且

（u₁和u₂分别是出口截面e上第一部分和第二部分的流速。按照流体力学中的习惯，对于液体流动一般不提及马赫数，而直接用速度表示）

那么用图4的方法算出的平均总压是1.693189MPa，质量加权平均的总压为1.691151MPa，而面积加权平均的总压为1.568328MPa。（注2）

不过，如果不满足这些条件，那么和气体一样，结论也是不确定的。例如，如果截面的温度不均匀

那么用图4的方法算出的平均总压是5.606872MPa，质量加权平均的总压为5.689955MPa，而面积加权平均的总压为5.588320MPa。这时反而是面积加权平均的总压更好一些。

又如，如果流体的静压本身就比较高，而流速又比较大，那么滞止压力就会接近甚至超过临界压力，例如

那么用图4的方法算出的平均总压是29.19266MPa，质量加权平均的总压为29.29578MPa，而面积加权平均的总压为29.19243MPa。这时也是面积加权平均的总压更好一些。（水的临界压力是22.064MPa）

总而言之，如果要精确计算平均总压的话，最好将截面的速度分布、温度分布等等导出到文件里面然后自己进行后处理。

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