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屈曲分析的基本概念
结构在载荷作用下由于材料弹性性能发生变形，若变形后结构上的载荷保持平衡，这种状态称为弹性平衡。如果结构在平衡状态时受到扰动而偏离平衡位置，当扰动消除后仍能恢复原来的平衡状态，则称为稳定平衡状态。反之，如果受到扰动而偏离平衡位置，即使扰动消除，结构仍不能恢复原来的平衡状态，而结构在新的状态下平衡，则原来的平衡状态就称为不稳定平衡状态。当结构所受载荷达到某一值时，若增加一微小增量，则结构平衡状态将发生很大的改变，这种现象就叫做结构失稳或结构屈曲。
三类失稳的概念
第一类失稳：是理想化情况，即达到某个载荷时，除结构原来的平衡状态存在外，出现第二个平衡状态，故又叫做平衡分叉失稳，数学上就是求解特征值问题，又叫做特征值屈曲分析。对应workbench的线性特征值分析（Linear Buckling Analysis 或Linear–based Eigenvalue Buckling）。
第二类失稳：是结构失稳，变形将大大发展，而不会出现新的变形形式，即平衡状态发生质变，也叫极顶失稳，结构失稳时，相应载荷叫做极限载荷，理想结构或完善结构不存在，总是存在这样那样的缺陷，大多数问题属于第二类失稳问题。对应workbench的非线性特征值分析（Nonlinear –based Eigenvalue Buckling）。
第三类失稳：是当在和达到某值时，结构平衡状态发生一明显跳跃，突然过渡到非临近的另一具有较大位移的平衡状态，称为跳跃失稳，跳跃失稳没有平衡分叉点，也没有极值点，如坦拱、扁壳、二力杆的失稳都属于此类。对应workbench的Static Structural，无论前屈曲平衡状态或后屈曲平衡状态均可一次计算求出，即全过程分析。
WB高低版本屈曲分析功能模块区别
在低版本的wb中屈曲分析的功能模块叫【Linear Buckling】，意思就是线性屈曲分析，而在高版本wb中则已将此功能模块改为【Eigenvalue Buckling】，意思是特征值屈曲分析，不再是线性屈曲分析了，那么这一改动究竟是为什么呢？在查看帮助文档后，会发现高版本中关于Eigenvalue Buckling的介绍比低版本中关于Linear Buckling的介绍多了一部分内容。低版本中的Linear Buckling功能模块只能进行线性特征值屈曲分析，而高版本中Eigenvalue Buckling功能模块则除过进行线性特征值屈曲分析外（Linear–based Eigenvalue Buckling），还能直接进行非线性特征值屈曲分析（Nonlinear –based Eigenvalue Buckling）。
低版本wb中传统的【Linear Buckling】，只能进行理想化的线性特征值屈曲分析，无法进行非线性特征值屈曲分析，非线性屈曲分析包含很多非线性状态，比如材料的非线性，变形非线性，接触非线性、含有初始几何缺陷等等，在Linear Buckling功能模块中是无法直接进行这些非线性屈曲分析的，当然可以通过Linear Buckling结合其它功能模块经过一些中间操作也可实现非线性屈曲分析，如施加有初始几何缺陷的非线性分析。而新版本中的Eigenvalue Buckling功能模块变得强大的多，可以直接在这一个模块里面进行非线性的特征值屈曲分析。我们看一看ANSYS帮助文档里面关于Linear–based Eigenvalue Buckling和Nonlinear –based Eigenvalue Buckling介绍的区别。
【Linear–based Eigenvalue Buckling】与低版本中的【Linear Buckling】相同，需注意以下几点：
1）线性屈曲分析只能在静力分析模块中定义边界。
2）通过特征值屈曲分析计算的结果是在静态结构分析中应用所有载荷的屈曲载荷因子。例如，如果在静态分析中对结构应用10 N压缩负载，如果特征值屈曲分析计算的载荷因子为1500，则预测的屈曲载荷或临界失稳载荷为1500×10N=15000N。因此，在屈曲分析之前的静态分析中应用单位载荷是一种典型的方法。
3）在静态分析中所施加的所有载荷都需要考虑载荷因子，即载荷因子是施加的所有载荷的比例因子，如果某些载荷是恒定的静载荷（如重力载荷），而其它载荷是可变的（如施加的外部力载荷），则需要采取特殊步骤确保准确的结果，通常可以使用一种方法叫迭代特征值法来调整可变载荷，直到屈曲载荷因子变为1.0（或接近1.0，在允许的误差范围内），即保证了恒定静载荷不被放大，如下图所示：①中F=100+100W0是不正确的，直到③中载荷因子为0.99时得到的屈曲载荷F=111×0.99+0.99W0=110+0.99W0才是准确的屈曲载荷。
【Eigenvalue Buckling】与低版本中的【Linear Buckling】的不同之处在于：【Linear Buckling】功能模块中进行线性分析之前的预应力分析Static Structure中不能定义任何的非线性，否则会出现以下错误信息：下图中是在Static Structure将大变形开关打开，即出现了非线性状态，那么在之后的【Linear Buckling】中是不能进行分析的。
但在【Eigenvalue Buckling】中则完井可以进行分析，此时进行的分析叫非线性特征值屈曲分析，即【Nonlinear –based Eigenvalue Buckling】，关于非线性特征值屈曲分析，在帮助文档里面是这样介绍并需要注意的：
1）至少有一个非线性属性在静力分析中被定义，如打开大变形开关，存在接触等。
2）除过在静力分析中定义的边界条件和载荷外，还必须在屈曲分析中至少定义一个载荷来进行求解，在屈曲分析中定义的载荷称为初始扰动载荷，软件中有个功能叫“Keep Pre-Stress Load-Pattern”保持预应力载荷加载模式，并将其属性设置为“Yes”，意思是在屈曲分析中保留静力结构分析中所施加的边界条件和载荷条件，如在静力结构分析中施加的载荷是0.1N，那么在屈曲分析中也保留了这个载荷0.1N的初始扰动载荷，而在线性分析中则是没有这个初始载荷的。这种新的加载模式在低版本中是完全没有的功能，与预应力分析完全不同，而且还可以将“Keep Pre-Stress Load-Pattern”属性设置为“No”，并在屈曲分析中自己设置新的载荷，即不保留静力分析中的载荷，如可将前面的0.1N自主修改成1N。但有一点特别不好的是，在屈曲分析中的重新施加载荷只能以节点载荷的形式施加，一般不建议重新进行载荷的施加。
3）非线性特征值屈曲分析时，这时候计算的载荷因子仅仅是屈曲分析中设置的载荷的比例因子，与线性屈曲分析完全不同，线性屈曲分析中计算的载荷因子是针对静力分析中所有施加载荷的比例因子，包括静载荷，而非线性特征值屈曲分析中的载荷因子仅仅是针对屈曲分析中施加的载荷，与静力分析中施加的任何载荷均无任何关系，如上文所述的线性屈曲分析中有静载荷的时候，载荷因子也是要乘以静载荷的，所以需要调整载荷因子到1，才能保证计算的准确性，而对于非线性屈曲分析，则完全无需考虑了。在非线性特征值屈曲分析中计算屈曲载荷或临界失稳载荷的方法如下：
FBUCKLING = FRESTART + λi · FPERTRUB
FBUCKLING =结构的屈曲载荷或临界失稳载荷；
FRESTART = 静力分析中所施加的载荷；
λi =第i阶屈曲模态的载荷因子；
FPERTRUB = 在屈曲分析中施加的初始扰动载荷。
例如：如果在静力分析中施加100N的集中力，且有恒定的重力载荷为200N，在屈曲分析中施加10N的力，计算的载荷因子为15，那么结构的临界失稳载荷=100+200+（15×10）=450N，不需要为了重力载荷而去将载荷因子调整为1了。
4）假设一个悬臂梁的理论极限弯曲强度为1000N，受到250N集中力作用，线性屈曲分析和非线性屈曲分析的临界失稳载荷区别如下图所示：
WB中高低版本屈曲分析实例对比
以一压力容器中简单的筒体上开孔为例，介绍低版本中【Linear Buckling】和高版本中【Nonlinear –based Eigenvalue Buckling】外压屈曲计算的结果对比。
WB 14.5版本中【Linear Buckling】计算结果：
如上图所示：
当P=0.01Mpa时，计算的载荷因子为1185.4，那么临界失稳载荷=0.01×1185.4=11.854Mpa；
当P=0.1Mpa时，计算的载荷因子为118.54，那么临界失稳载荷=0. 1×118.54=11.854Mpa；
当P=1.0Mpa时，计算的载荷因子为11.854，那么临界失稳载荷=1.0×11.854=11.854Mpa；
当P=10Mpa时，计算的载荷因子为1.1854，那么临界失稳载荷=10×1.1854=11.854Mpa；
当P=100Mpa时，计算的载荷因子为0.11854，那么临界失稳载荷=100×0.11854=11.854Mpa；
由上计算结果不难看出，不管载荷施加多少，最终的临界失稳载荷值是完全相同的，与施加的载荷值无关，这就是传统的线性特征值屈曲分析方法，此时施加的载荷值笔者临时给起个方便理解的名字叫“无量纲的假值”，无论这个值缩小或放大多少倍数，计算的载荷因子也随着放大或缩小相应的倍数，所以最终的临界失稳载荷值是不变的。
WB 19.2版本中【Linear–based Eigenvalue Buckling】与14.5版本中【Linear Buckling】的计算原理和结果完全是一致的。而【Nonlinear–based Eigenvalue Buckling】计算结果与区别如下：
在设置方面与【Linear Buckling】不同的是需要在静力分析中将大变形开关打开，给其赋予非线性特性，另外在屈曲分析设置中将“Keep Pre-Stress Load-Pattern”属性设置为“Yes”，给予屈曲分析一个初始的扰动载荷，这也是软件默认的。
如上图所示：
当P=0.01Mpa时，计算的载荷因子为1184，那么临界失稳载荷=0.01+0.01×1184=11.85Mpa；
当P=0.1Mpa时，计算的载荷因子为117.5，那么临界失稳载荷=0. 1+0.1×117.5=11.85Mpa；
当P=1.0Mpa时，计算的载荷因子为10.851，那么临界失稳载荷=1.0+1×10.851=11.851Mpa；
当P=10Mpa时，计算的载荷因子为0.089432，那么临界失稳载荷=10+10×0.089432=10.89432Mpa；
当P=100Mpa时，静力分析中直接出现非线性不收敛情况，最终无法计算载荷因子；
由上计算结果不难看出，非线性特征值屈曲分析的载荷值是不能随便施加的，这个载荷值是个对计算结果有重要影响的“有量纲的真值”，因为这个值是作为初始扰动载荷施加在屈曲分析中的，当载荷较小的时候，计算的结果才是准确的，如上面在P=0.01~1Mpa时候计算的临界失稳载荷几乎相同，在P=10Mpa时，临界失稳载荷值是10.89Mpa，而当P=100Mpa时，这个载荷值早已超出该结构的临界失稳载荷，出现超大的变形，且非线性计算无法收敛了。为了验证一下结果，笔者又试算了几次，发现在P=10.3Mpa的时候就已经出现不收敛的现象了，此时虽未超出临界失稳载荷，但这个初始扰动载荷已经达到失稳载荷的87%了，已经开始导致该结构出现超大变形而造成无法收敛的结果了。在P=10.2Mpa时计算结果如下图所示：
当P=10.2Mpa时，计算的载荷因子为0.028881，那么临界失稳载荷=10.2+10.2×0.028881=10.4946Mpa；此时计算的临界失稳载荷与P=10Mpa时的1089432Mpa差了0.5Mpa左右，计算的失稳载荷值已经不稳定了，所以在P=10或10.2Mpa时计算的结果均是不正确的。所以这个载荷值不能施加的过大更不能像纯线性屈曲分析一样无限增大，但是可以无限缩小，理论上来说，当这个值无限小趋近于0的时候就跟线性特征值屈曲分析类似了，这时候就相当于没有加初始扰动载荷，如下图当P=1e-9Mpa时，载荷因子是1.185e+10，则临界失稳载荷直接就是1e-9×1.185e+10=11.85Mpa。
综上所述，对于非线性特征值屈曲分析，载荷施加的大小是与结构本身有密切关系的，如上面的例子，在施加到10Mpa时计算结果就已经不正确了，但如果一个结构可以承受的失稳载荷是10000Mpa，那么我们施加10Mpa的初始扰动可能对计算结果几乎不会有影响，计算的结果也是正确的，如果一个结构仅可承受0.1Mpa的失稳载荷，那么施加0.01Mpa的计算结果也未必是正确的，所以初始载荷的施加与结构本身能承受的失稳载荷有关。但我们在以后的计算中可以完全不用考虑该结构到底能承受多大的失稳载荷，直接就将初始载荷设置为一个很小的值就可以了，计算的结果必然是正确的。另外通过上面对比可看出线性特征值屈曲分析计算的临界失稳载荷是11.854Mpa，而非线性特征值屈曲分析计算的临界失稳载荷是11.85Mpa，总体来说是偏小且趋于保守的，对此结构来说虽然差别不大，但对其他结构来说有可能要小很多，所以以后我们直接可以抛弃传统的线性特征值屈曲分析了，可以直接按此种非线性特征值屈曲分析来计算了，当然要更精确和保守就需进一步考虑施加初始几何缺陷的非线性屈曲分析。
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