时间步概念深度解析

做非线性分析的都知道时间步的问题，这里来谈谈一些注意和基本概念。简单地说，在解非线性问题的时候，我们把整个求解过程分成小段。对于结构问题，这种分段等同于把加载过程分成多个步，每步结构加载变化一点，直到完成整个加载过程。如果是动力问题，那么这个加载步可以理解为真正的时间区间（但也不一定，因为可以有子步）。如果是静力问题，这个加载步就是很多求解器所谓的伪时间步。

容易混淆的概念是，划分时间步这个计算步骤在原则上是和牛顿迭代无关的。因为牛顿迭代是在每个时间步内进行的子循环。直到迭代满足收敛条件，计算才向下一步进行。这个过程圆环套圆环的过程，导致了非线性求解的一系列特点和麻烦。

第一，收敛标准的问题。

这个本质上是牛顿法需要探讨的，但是因为时间步必须解决这个难点，所以在这里需要说说。在固体力学里面，收敛标准一般是三种，简称为UPW，分别指位移(U)，加载(P)，和做功(W)。每个量的收敛条件，本质都是衡量所在迭代步的相对误差。理论上讲，必须三个量都收敛才能保证计算结果稳定和精确，但是如果根据问题可以放松，那么常用的量至少要保证U和P收敛。

第二，时间步的划分问题。

加载步多了求解时间长，少了不准确或者根本不收敛（因为牛顿法本质上只能求局部不动点），所以时间步的划分是个艺术。这个问题没有标准答案，只能说视具体情况而定。如果你的问题不太难，求解器自带的自适应算法应该能够自动调整步长。静力自适应算法的本质，是计算到目前为止的时间步的收敛模式。简单地说，如果求解器发现现在这步收敛得快，那么下一步步长就可以放宽点，如果收敛得慢或者搞不定，那么就得缩小步长。基本上是个猜猜猜的过程。

第三，动力问题时间步的问题。

和静力问题不同，动力问题有“真正”的时间，需要进行时间积分，所以时间步的划分是根据积分算法来决定的。而积分算法应该根据具体问题来选择。常用的算法，固体和结构分隐式和显式：隐式基本上都在Newmark和HHT上玩系数，目的是保证精确性但又滤掉高频的信号，而显式基本上就是保证时间步尽量大但又不大到影响稳定。流体基本上都是在Runge-Kutta和各种向后积分法中求稳定。所以当积分法定了，时间步的选择的大方向也就定了。普通用户在这个时候可以和精力情形一样，寄希望于自适应算法。动力问题的时间步自适应基本上分两类。一类是调整步长以适应特定的结构振动频率，一类是调整步长以适应特定的积分误差。

第四，多尺度的问题。

下面这三类常见问题，对于时间步的决定都是让人头疼的，本质上都是因为有空间/时间多尺度的特点: 接触问题（固体），湍流问题（流体），激波问题(固体和流体）。工程上解决的方式，本质上都是给模型添加稳定性，即所谓的数值减振／衰减。

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