平面应力与平面问题：ANSYS实现方法与技巧

今天，我们继续研究下一节——应力·拉（压）杆内的应力。

我们知道，应力是判断结构性能的一个重要指标，在结构设计中，应力的正确计算是极其重要的。下面，我们通过例题2-3，来研究该题的材料力学解法和ANSYS解法。

一．材料力学解法：

我们首先对该结构进行受力分析，假想用一直径平面将该圆环切开，受力图如下：
 

  根据平衡方程，半环上内压力的合力F  _R=2*F  _N。

所以，

F_R=pbd/2

此时，我们引入一个假设：当圆环的壁厚δ与内直径d有如下关系：δ/d≤1/20，可以认为径向截面上的正应力是均匀分布的。该假设的误差，笔者将在文章最后给出。

依据上述假设，可得径向截面上的正应力：

σ=F_N/A=pbd/2bδ=40MPa

二．ANSYS解法：

首先，我们引入两个概念：平面应力和平面应变。

1.平面应力：

如下图，对于很薄的等厚薄板，只在边上受有平行于板面且不沿厚度变化的面力或约束；同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。设薄板的中面在xy平面内，z轴垂直于中面，则在整个薄板上，都有：

σ_z=0，τ_zx=0，τ_zy=0

根据切应力互等定理：
 

τ_xz=0，τ_yz=0

  此时，只剩下平行于xy面的三个应力分量：
 

σ_x，σ_y，τ_xy=τ_yx

  又因为板很薄，可以认为这三个应力分量是不沿板厚变化的，它们只是x，y的函数。
 

  这就是平面应力问题。
 

2.平面应变：

如下图，对于很长的柱形体，横截面不沿长度变化。在柱面上受有平行于横截面且不沿长度不变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化。

假设该柱体无线长，以任意横截面为xy面，任意纵线为z轴，则所有一切应力分量、应变分量、位移分量都不沿z方向变化，只是x和y的函数。由于对称，所有各点都只会沿x和y方向移动，不会有z方向的位移，所以w=0，ε_z=0。

  由对称条件，可知
 

  τ  _zx=0，τ  _zy=0
 

  根据切应力互等定理：
 

  τ  _xz=0，τ  _yz=0
 

  由胡克定律：
 

  γ  _zx=γ  _zy=0
 

  由于z方向的伸缩被阻止，所以σ  _z一般并不等于0。
 

  此时，只剩下平行于xy面的三个应变分量：
 

  ε  _x，ε  _y，γ  _xy

  这就是平面应变问题。
 

说明：
 

1.平面应力和平面应变问题的区别：平面应力: ε_z≠0 ，轴向远小于横向；平面应变: σ_z≠0，横向远小于轴向。

2. 平面问题的求解体系：8 个未知数，必须建立8 个相互独立的方程才能得以求解。

3. 平面问题方程来源：

a. 平衡微分方程：建立应力和力之间的关系，总共3个，力矩平衡方程推出切应力互等，所以还剩x，y方向力的平衡方程；

b. 几何方程：建立应变与位移之间的关系，总共3个；

c. 物理方程：建立应力与应变之间的关系，总共3个。

以上只是对平面问题简单的论述，若读者想深入学习，可参阅徐芝纶教授编著的《弹性力学》第5版。

使用ANSYS求解该问题时，我们从以下几个方面入手：

1.确定分析类型：根据例题所示结构，确定分析类型为静力学分析；

2.通过对例题结构进行分析，可知该结构符合平面应变问题；计算时可选择任意横截面，使用平面单元进行计算；

3.该横截面同时关于x轴和y轴对称，计算时可使用四分之一结构计算。

Step1：在SCDM中创建平面模型。

由于我们使用平面应变模型计算，所以建模时必须要将横截面建立在xy平面上。根据题目中给的几何尺寸，在xy平面上建立一个四分之一的圆环面。草绘完成后，点击顶部的Pull或者底部Return to 3D mode，然后按ESC键，将草绘转化成面。建立完成以后，点击菜单栏Workbench→ANSYS transfer→2020R1进入Workbench。

Step2：设置分析类型（2D）。

在Project Schematic中的空白处点击右键，选择Properties，打开Properties of Project Schematic。单击项目中的A2（Geometry）栏，在Propertiesof Project Schematic A2: Geometry中将AnalysisType切换为2D。（若Analysis Type为3D，则导入平面几何后软件将使用壳单元计算。）

Step3：创建分析流程。

将StaticStructural拖入Project Schematic，并与刚才导入的几何建立联系。双击Model进入Mechanical。

Step4：几何设置。

在结构树中点击Geometry，将Details of Geometry中的2D Behavior切换成Plane Strain（平面应变）。

Step5：网格划分。

为了得到更加精确的结果，笔者在圆环的厚度方向布置了5个网格，将网格尺寸设置为1mm。为了使网格全部为四边形，笔者在网格划分时设置了Face Meshing。

Step5：载荷及约束设置。

1.载荷：薄壁圆环内壁施加2MPa的压力。（施加Pressure时，正值代表压缩，负值代表拉伸）

2.约束：由于我们使用的是四分之一模型，所以我们在对称边界上使用Frictionless Support。为了让读者看着清楚，笔者在每个对称边界上都施加了Frictionless Support，这样有个好处，就是能在后处理的时候查看每个对称边界上的支反力。简单一点的话，可以选中两个对称边界，施加一个Frictionless Support也可以。

Step6：求解及后处理。

题目让我们求圆环径向截面（即对称边界）上的拉应力，后处理时，我们可以选择单独输出对称边界上的结果。我们单击Solution，在Results中选择Stress→Normal Stress，并在Details of Normal Stress将Geometry选为对称边界的一个边，将Orientation设置为Y轴。然后提取结果。

通过计算结果发现：

1.圆环径向横截面上的正应力最大值为41.024MPa，最小值为39.024MPa，平均值为40.024MPa，与材料力学计算结果基本相同。

2.圆环径向截面上的正应力沿壁厚不是均匀分布的，而是呈线性分布。但最大值和最小值相差很小，可以认为是均匀分布。

3.求解时将三维空间问题转化为二维平面问题，用二维坐标系研究三维问题，在保证计算结果的前提下，大大缩短了计算时间，提高了计算效率。

至此，该例题求解完毕。

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