有限元分析方法与材料断裂准则探讨

一、有限元模拟方法

金属切削数值模拟常用到两种方法，欧拉方法和拉格朗日方法。欧拉方法适合在一个可以控制的体积内描述流体变形，这种方法的有限元网格描述的是空间域的，覆盖了可以控制的体积。在金属切削过程中，切屑形状的形成过程不是固定的，采用欧拉方法要不断的调整网格来修改边界条件，因此用欧拉方法进行动态的切削过程模拟比较困难。欧拉方法适用于切削过程的稳态分析（即“Euler方法的模拟是在切削达到稳定状态后进行的”[2]），仿真分析之前要通过实验的方法给定切屑的几何形状和剪切角[1]。

而拉格朗日方法是描述固体的方法，有限元网格由材料单元组成，这些网格依附在材料上并且准确的描述了分析物体的几何形状，它们随着加工过程的变化而变化。这种方法在描述材料的无约束流动时是很方便的，有限元网格精确的描述了材料的变形情况。实际金属切削加工仿真中广泛采用的拉格朗日方法，它可以模拟从初始切削一直到稳态的过程，能够预测切屑的形状和工件的残余应力等参数[2]。但是用这种方法预定义分离准则和切屑分离线来实现切屑和工件的分离，当物质发生大变形时常常使网格纠缠，轻则严重影响了单元近似精度，重则使计算中止或者引起严重的局部变形[1]。

为了克服欧拉描述和拉格朗日描述各自的缺点，Noh和Hirt在研究有限差分法时提出了ALE(Arbitrary Lagrange-Euler)描述，后来又被Hughes，liu和Belytschko等人引入到有限元中来。其基本思想是:计算网格不再固定，也不依附于流体质点，而是可以相对于坐标系做任意运动。由于这种描述既包含Lagrange的观点，可应用于带自由液面的流动，也包括了Euler观点，克服了纯Lagrange方法常见的网格畸变不如意之处。自20世纪80年代中期以来，ALE描述己被广泛用来研究带自由液面的流体晃动问题、固体材料的大变形问题、流固祸合问题等等。金属的高速切削过程是一个大变形、高应变率的热力祸合过程，正适合采用ALE方法。

采用ALE方法进行高速切削仿真克服了拉格朗日方法和欧拉方法需要预先定义分离线、切屑和工件分离准则，假定切屑形状等缺点，避免了网格畸变以及网格再划分等问题，使切屑和工件保持良好的接触，使计算易于收敛[1][4]。

二、材料断裂准则

在金属切削成形有限元模拟中提出了多种切屑分离准则，这些准则可以分为两种类型：物理准则和几何准则。

优点：

几何分离准则需要预定义加工路径，在加工路径上判断刀尖与刀尖前单元节点的距离变化来判断分离与否。当两点的距离小于某个临界值时，刀尖前单元的节点被分成两个，其中一个节点沿前刀面向上移动形成切屑，另一个保留在加工表面上形成己加工表面[1][2]。。

物理分离准则是基于刀尖前单元节点的应力、应变及应变能等物理量定义分离条件，当单元中的该物理量的值超过给定材料的对应值时，单元节点就会分离[2]。（物理标准主要是基于制定的一些物理量的值是否达到临界值而进行判断的，主要有基于等效塑性应变准则、基于应变能密度准则、断裂应力准则等[5]）。

Carroll和Strenkowski使用了等效塑性应变作为物理分离准则的标准，在一些有限元软件中该标准的演化得到了应用， ABAQUS/Explicit中的剪切失效准则 (shear failure)就是这样一种物理准则，它根据单元积分点处的等效塑性应变值是否到达预设值来判断材料是否失效[1]。

缺点：

采用物理准则使切削的有限元模拟更接近实际情况，但在实际的有限元模拟中，当刀尖达到应该分离的节点时，该点的物理值并没有达到所给定的物理标准，导致切屑在该点并没有分离[5]。很难在有限软件中实现[3]。

几何标准的模型虽然简单，但是由于它不是基于切屑分离的物理条件，所以使用几何标准很难找到一种通用的临界值，以适应切削加工中不同的材料以及不同的加工工艺[2]。难以反映切屑分离过程中的力学和物理现象[3]。

为了克服物理准则和几何准则的缺点，又有学者提出几何-应力切屑分离准则。该准则以物理准则为主要判断依据，但当刀尖接近分离点并小于给定的几何值时，可以强迫结点分离[2]。标准如下[3]：

Johnson-Cook剪切失效准则提供了材料到达失效点时等效塑性应变的计算方法，特别适用于金属的高应变率变形，因此本研究采用了Johnson-Cook剪切失效准则作为刀屑分离的物理准则，同时采用了ALE方法进行刀屑分离[1]。

三、材料断裂模型

在有限元模拟时，切屑形状的成形除了受刀屑分离准则的影响，同时受材料断裂模型的影响，尤其是单元切屑和锯齿状切削的形成由材料的断裂模型来实现。Elbestawi和El-Wardanylsl应用断裂力学理论对高速切削中工件材料裂纹萌生和扩展方向进行了预测，指出当工件材料自由表面的能量达到某一临界值时，裂纹开始产生，并沿着应变能密度最小的方向不断扩展，进而造成材料的断裂。

目前用来进行高速切削有限元模拟的断裂准则有Rice&Tracy准则、Brozz准则、Cockroft&Latham准则、MeClintock准则和Freudenthal准则。大量研究者采用Cockroft&Latham准则，该准则是从能量角度建立的，通过高温拉伸试验计算出断裂塑性能，并同金属材料变形断裂所需的能量建立映射关系，将其作为判断金属材料延性断裂的临界能量值。

考虑到高速切削的特点，塑性应变对工件材料失效断裂起重要影响，ABAQUS/Explicit里定义材料属性时可在材料编辑(Edit Material)选用Johnson-Cook断裂应变模型，该模型(见公式 (3.7)、(3.8))提供了材料到达失效点时等效塑性应变的计算方法。

本研究选用了Johnson-Cook强度模型为材料的本构模型，选用了Johnson-Cook剪切失效准则为刀屑分离准则，同样采用了Johnson-Cook断裂应变模型为材料的断裂模型。

ABAQUS Explicit里的 adaptive mesh采用了ALE技术。剪切失效准则和Johnson-Cook断裂应变模型一起应用就能动态的判断材料的失效并达到工件与切屑的分离。

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