基于ABAQUS的二维缺陷结构围线积分计算

J积分、应力强度因子和T应力作为重要的断裂参数被广泛应用于断裂力学中，并且在给定载荷条件下对假定缺陷结构的这些参数的准确计算是使用断裂力学进行设计的一个重要方面。对于这些参数的解析解大多为经验公式，且只能求一些特殊情况下的解析解，另外研究对象只受低于使其裂尖断裂的荷载作用，这对利用这些断裂参数对裂纹扩展机理的深入研究产生了局限性，因此利用ABAQUS有限元软件求解其数值对基于断裂参数研究裂纹扩展机理具有重要的现实意义。

• 应力强度因子

目前确定材料应力强度因子的方法可分为两种，一是近场法，另一种是远场法。所谓近场法就是将得到的裂尖近场信息直接代入应力强度因子的近场解；而远场法是将试件远场的信息（如应力，载荷或位移等）代入应力强度因子的远场解的方法。

1）应力强度因子的近场解

近场解以裂纹尖端（裂尖）为理论基础，对于线弹性均匀介质，当载荷随时间变化，稳定裂纹尖端的渐近位移场与静态情况完全类似。通过裂纹面上各点处垂直于裂纹面的位移，

由裂缝尖端位移场可得到I型裂纹应力强度因子的近场解：

其中，“＋”对应上裂纹面，“－”对应下裂纹面。

2）应力强度因子的远场解

应力强度因子的远场解与试件的远场信息，即试件的尺寸、形状，试件所受的载荷等有关，通常写成下面的形式：

其中：

式中表示的远场荷载；a为裂纹长度，为平行于a的构件尺寸，该解析解适用于：

• J积分

其中J积分由Rice提出，被广泛接受作为线形和非线性材料响应的力学参数,它与裂纹扩展的能量释放率相关，并且作为裂尖变形强度的度量参数，与应力强度因子也相关，且其是基于能量守恒概念引入的参数，因而对裂纹尖端应力奇异性的依赖程度较低，所以相比于应力强度因子，处理非线性断裂问题时无需对裂纹尖端点特殊处理，因此基于J积分在断裂评估方面的优点和重要性,J积分数值计算方法的准确性对断裂力学实际应用尤为重要。

等效区域积分法是ABAQUS计算J积分的主要数值方法，等效区域积分法是一个图1所示的在包含裂纹尖端的回路上的能量积分，即：

为了便于数值计算可将回路积分转换为图1所示的积分区域为A的区域积分，即：

其中：是用于确保被回路包围的等效积分区域足够光滑的权函数，等效积分区域如图1所示，在上时，；在C上时=0，是裂纹扩展方向上的单位矢量；是在裂纹面和上的表面张力；为单位体积所受的体力，为热应变；，对弹性材料，是弹性应变能。

图1 等效积分区域    

为了计算这个积分,在ABAQUS中需要定义包围裂纹尖段节点的单元环带作为等效积分域，且可以多个创建不同的回路积分域（围线积分域），因此该积分的求解也称为围线积分求解,第一回路积分域由直接与裂纹尖端节点连接的单元组成,第二个积分域由那些与第一积分域单元共用节点的单元组成,对于下一个积分域以此类推。

• 应力强度因子与J积分的关系

对于线弹性材料I裂纹应力强度因子与等效区域积分J（J积分）间的关系为：

；

其中对于平面应力问题，；对于平面应变问题，；

为I裂纹应变能释放率，研究表明对线弹性材料其在数值上等于J积分值。

问题描述

本文给出了四个示例用于验证ABAQUS对围线积分的计算能力，并与部分对应解析解进行了对比。第一个示例是在模式I加载下的线弹性，平面应变，双边裂缝试样，Bowie（1964）为其应力强度因子提供了一系列解析解;第二个是轴对称试样，带有币型裂纹;第三个是模式I加载下的单边裂缝试样;第四个是双材料试样，沿两个材料之间的界面具有界面裂缝。对于第一种情况，还使用三维模型，在厚度方向上具有一层单元，以验证软件计算J积分作为沿裂纹前沿的位置的函数的能力。在这种情况下，J积分沿裂缝前沿应该是恒定的，即与从二维平面应变分析获得的值相同。另外，子模型技术用于演示如何在裂纹尖端周围获得更准确的结果。基于传统的有限元方法研究了所有四个实例。此外，还基于扩展有限元方法（XFEM）研究了第一和第三示例。

模拟说明 | 双边裂缝试样模型

• 几何模型与网格划分

第一个例子的几何结构如图2所示，平面应变结构是板的一部分，在其中心线处有对称的边缘裂缝，其宽度为板的一半。通过施加到试样顶部和底部表面的均匀拉力实现模式I加载。 当使用常规有限元方法时，由于关于于x =0和y =0的对称性，可以仅取模拟板的右上象限进行模拟计算，四分之一模型的网格如图3所示。在全模型裂缝的情况下，左侧和右侧围线积分在Abaqus/CAE中定义，如图4所示，裂纹扩展的法线或q向量可用于定义裂纹扩展方向。

图2 双边裂缝试样几何模型

图3 双边裂缝试样有限元模型

图4 粗体所示的缝裂间隙、左右裂缝尖端及q矢量的定义

裂缝尖端周围的区域可以如图5所示进行分区，并用四边形主导单元进行扫掠网格划分。

图5 裂缝尖端分区及扫掠网格划分技术

• 边界条件及荷载

加载对称边界条件，如图6所示；顶面加载100lb/in2的拉应力。

图6 边界条件与荷载

• 模拟结果

试样变形云图如图7所示。

图7 位移云图

对于双边裂缝试样的四分之一模型，对称性用于计算轮廓积分结果。因此，围线积分的结果在输出之前乘以2，输出结果如图8所示：

图8 应力强度因子与J积分数值计算结果

J积分，应力强度因子和T应力应该是路径无关的，ABAQUS可以根据要求对多个围线进行积分计算，第一围线积分区域通常位于裂纹尖端处，第二个积分域由那些与第一积分域单元共用节点的单元组成,对于下一个积分域以此类推。围线积分应该与路径无关，从图8所示结果亦可得证，因此各围线之间的值的变化可以作为用于确定裂缝参数的网格质量的指标。

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