Abaqus时间积分方法:隐式与显式的再选择

著名的第四维度“时间”在确定几乎所有工程和物理系统的行为方面起着至关重要的作用。鉴于这一点,我们的有限元分析(FEA)模拟方法需要相应地考虑时间因素。本文旨在解释有限元分析中时间积分的概念,并介绍隐式和显式方法中对时间的处理方式的区别。



介绍




我们知道,任何物理系统的运动都可以用运动方程表示。这个运动方程的一般形式是:


其中,a是加速度,v是速度,u是系统的变形。在上述方程中,加速度、速度和变形是关于时间的未知量。


加速度和速度可以用变形表示为:



因此,运动方程是关于时间的二阶常微分方程。这个动态方程可以在频域或时域中求解。在频域中,假设未知量是谐波的,它们具有正弦形式。

而在时域中,不做任何这样的假设,直接求解方程得到未知量的实际值。但并非总是能够在时域找到未知参数的连续函数。因此,我们需要将时间分为有限数量的时间步长,并在特定的时间点求解未知量。这种技术称为时间积分方法。



在时间积分技术中,当前时间步的未知值是基于前一个时间步的已知值计算得出的。根据计算过程和应用,时间积分技术可以分为两种类型:隐式和显式。让我们通过以下显示的位移(u)和速度(u')方程,在时间步(tn+1)上讨论这两种技术之间的差异。



下面的图显示了位移u随时间t变化的情况。tn和tn+1是相邻的两个时间步,它们之间间隔了时间间隔(∆t)。曲线的斜率(u')随时间(t)连续变化。



隐式积分方法

在隐式时间积分方法中,未知时间步的变量是通过使用未知时间步(tn+1)处的斜率(u',u'')来计算的。由于位移、速度和加速度在时间步(tn+1)上是未知的,因此不能直接求解这些方程。


因此,在隐式方法中,我们将得到一组方程,其中包含不同时间步的未知变量,这些方程必须同时求解。一般而言,这些方程不是线性的。我们需要使用数值方法,如牛顿-拉普森方法、割线方法、反平方插值等,来求解收敛的未知数量。这些数值方法在计算上非常昂贵。但隐式方法无论时间步长如何,都能给出稳定的解。因此,这种方法具有无条件稳定性。



显式积分方法


在显式方法中,我们使用已知时间步的斜率(u',u'')来计算未知时间步(tn+1)处的变量。由于位移、速度和加速度在时间步(tn)上是已知的,因此可以直接求解这些方程。

因此,在显式方法中,我们直接计算出未知值,不需要数值方法。由于显式方法的正向移动性质,它需要较小的时间增量。时间步长的大小决定了膨胀波不能传播超过元素的最小特征长度。这被称为Courant-Friedrichs-Lewy (CFL)条件。在数学上可以表示为:


其中,Lmin是网格中最小单元尺寸,cd是纵向膨胀波速度。在这里,我们考虑纵向波的速度,因为它比横向波传播得更快。由于最小单元尺寸决定了显式方法中的时间步长大小,建议在模型中使用均匀的单元尺寸,以避免由于一个或少数小元素导致的时间步长过小。

如果我们不知道膨胀波速度,可以使用材料属性来计算,如下所示:



其中,E是杨氏模量,ρ是材料的密度。

这个计算得到的时间步长在大型有限元分析模型中可能太小,导致模拟需要非常长的时间才能完成。

从上述方程中可以看出,时间步长与波速成反比。这意味着,如果我们可以人为地降低波速,就可以增加时间步长。

通过人为增加材料的密度来降低波速的方法称为质量缩放。然而,要小心只对模型中最小的一组元素应用质量缩放,以保持结果的整体准确性。
 


下表总结了隐式和显式时间积分技术之间的差异:

隐式积分法
显式积分法
与时间步长无关,无条件稳定取决于时间步长的大小
每个时间步长都需要使用数值方法进行迭代每次时间增量一步求解,无需迭代
每个增量的求解速度慢每个增量的求解速度快
用于解决静态、蠕变、准静态问题用于解决动态、冲击、跌落测试问题



小结

通过精读本文,相信你一定对隐式与显式积分方法有了深刻的理解。




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