美赛特等奖论文解析：恒温省水浴缸设计

作为美赛的经典脑洞大开的问题之一，2016年美赛题目可谓是让淘宝店主发疯抓狂，各类的吐槽层出不穷，比如：

看到这种图，不得不感叹淘宝的小哥真是万能，这个热力学云图做的我都自愧不如！

万万没想到，最后的赢家居然是：

当然，也有灵魂回答：

好了，回到正题，我们还是来解析一下拿到题目后的思路。

老规矩，首先，回顾一下问题

A person fills a bathtub with hot water from a single faucet and settles into the bathtub to cleanse and relax. Unfortunately, the bathtub is not a spa-style tub with a secondary heating system and circulating jets, but rather a simple water containment vessel. After a while, the bath gets noticeably cooler, so the person adds a constant trickle of hot water from the faucet to reheat the bathing water. The bathtub is designed in such a way that when the tub reaches its capacity, excess water escapes through an overflow drain.

  Develop a model of the temperature of the bathtub water in space and time to determine the best strategy the person in the bathtub can adopt to keep the temperature even throughout the bathtub and as close as possible to the initial temperature without wasting too much water.

  Use your model to determine the extent to which your strategy depends upon the shape and volume of the tub, the shape/volume/temperature of the person in the bathtub, and the motions made by the person in the bathtub. If the person used a bubble bath additive while initially filling the bathtub to assist in cleansing, how would this affect your model’s results?

  In addition to the required one-page summary for your MCM submission, your report must include a one-page non-technical explanation for users of the bathtub that describes your strategy while explaining why it is so difficult to get an evenly maintained temperature throughout the bath water.

一个人用一个水龙头把热水灌满浴缸，然后躺在浴缸里清洗和放松。不幸的是，这个浴缸并不是一个带有二次加热系统和循环喷嘴的spa式浴缸，而是一个简单的水容器。过了一段时间，浴缸明显变凉了，所以这个人增加了一个不断从水龙头流出的热水来重新加热洗澡水。浴缸的设计是这样的:当浴缸达到其最大容量时，多余的水会通过溢出的排水管排出。

  建立一个浴缸水在空间和时间的温度模型，以确定在浴缸里的人可以采取的最佳策略，以保持温度甚至整个浴缸，并尽可能接近初始温度，而不会浪费太多水。

  使用你的模型来确定你的策略在多大程度上取决于浴缸的形状和体积，浴缸里的人的形状/体积/温度，以及浴缸里的人所做的动作。如果这个人在最初填充浴缸时使用了泡泡浴添加剂来帮助清洗，这将如何影响您的模型的结果?

  除了MCM提交要求的一页摘要外，你的报告必须包括一页对浴缸用户的非技术性解释，描述你的策略，同时解释为什么很难使整个浴缸保持均匀的温度。

面对非常规数学问题，自然需要非常规解析方法，针对这个问题，同学们不应该把自己局限在最优化问题或是预测问题，而是应该脑洞大开，另辟蹊径。这个题目与我们的生活相关性很高，可以想想，如果我们在一个浴池中，想要保持恒温，那么，我们最想获得什么样的体验呢？

在这个题目中，应当关注以下几点：

• 浴缸内的水不可自加热，会随着时间的推移逐渐变冷，而人的身体温度是恒定的(保持在36-37摄氏度左右)，当浴缸中的水低于某一数值，人的皮肤会感到不舒适，暂时可以把这一个目标作为一个约束；
• 由于血液流速不同，人的身体上每部分皮肤的温度略有不同；
• 流入的液体具有一定的初速度，且具有相对较高的温度，如果水温过高，且在进入过程中还没有和浴缸内原有的冷水混合，就冲到了人的皮肤上，会影响客户的感受；
• 每个人身体的体积、重量均不同，提问也不同，需要考虑不同类人群的身体构造；
• 人在泡澡的时候，并非是固定不动的，需要考虑适用浴缸者的实际动作，有较强软件交互经验的同学们可以考虑一下建立动态模型，如果动态过程难以模拟，可以考虑对于一些极端情况进行仿真；
• 如果不是自来水，而是增加了泡泡，会怎么影响之前建立的模型？这部分，一方面可以考虑肥皂泡本身对于浴缸中水的温度影响，由于液体表层的疏水力，含有肥皂泡的液体表层会被肥皂液覆盖，这样的表面可以有效减缓水分子穿透速度，抑制浴缸内液体蒸发。

其中，最后一点可以最后考虑，当三维模型建立完成后，也就可以根据浴缸的形状来判断肥皂泡表面对于液体温度的影响效率。

看到这个题目，首当其冲，热力学模型没跑了，同时，也需要掌握流体力学、人体工程学，基础优化算法，系统工程建模等各类知识，除了需要掌握MATLAB，还会三维建模软件，如Solidworks、UG等，CFD相关软件，如fluent、ANSYS等，有限元分析软件，例如ANSYS，Abaque等的同学们建议首选这道题，如果缺乏热力学基础知识，可以下载以下四个链接的文件学习一下：

• 【论文】浴缸水温控制模型的建立与仿真

浴缸水温控制模型的建立与仿真 - 中国知网kns.cnki.net

• 【论文】基于热传导偏微分方程的浴室恒温与节水混合策略的折中方案研究

基于热传导偏微分方程的浴室恒温与节水混合策略的折中方案研究 - 中国知网kns.cnki.net

• 【论文】傅里叶热传导方程和牛顿冷却定律在流体热学研究中的数学模型应用

傅里叶热传导方程和牛顿冷却定律在流体热学研究中的数学模型应用 - 中国知网kns.cnki.net

• 【论文】泡泡剂对浴缸水温平衡影响模型研究

泡泡剂对浴缸水温平衡影响模型研究 - 中国知网kns.cnki.net

根据刚才的分析，以及需要注意的事项，现在我们就可以对模型做一些假设：

• 初始环境下，浴缸中的每部分水的水温相同；
• 室内足够大，或者说室内的温度始终处于恒温状态；
• 浴缸的缸壁隔热，不会有热量会在穿过浴缸缸壁过程中损失；
• 浴缸具有较好的保温特性；
• 水流如果比较缓慢，可以认为其不会与浴缸内的液体出现热对流，只需要考虑热传导即可；

  还是像我们之前所说，模型假设只是为了能够在建模过程中减少一些不必要的计算。

本次的解析暂时就到这里，下一次解析将会分析：面对无厘头问题，如何有一个初步的思路。

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