MATLAB低通滤波d2c高频折返问题避坑

我设计了一个一阶数字低通滤波器（butter），想看看它等效的连续域表现，于是用了d2c把它转回S域画伯德图。但结果很奇怪：高频衰减稳定在了-25dB不再下降，相位竟然从-90°硬生生回升到了0°。按道理来说，如果高频部分没有对应的零点，模拟巴特沃斯在高频本该衰减到负无穷，相位恒定-90°，这凭空多出来的“折返”是哪来的？

代码块

fs = 5000;          % 采样频率
fc = 100;           % 截止频率
[b,a] = butter(1, fc/(fs/2)); % 默认双线性变换设计数字滤波器
B = tf(b, a, 1/fs);            % 建立离散传递函数
B_s = d2c(B);                  % 默认ZOH法转连续域（罪魁祸首）

P = bodeoptions;              % 修正点：正确的函数名
P.FreqUnits = 'Hz';           % 设置横坐标单位为Hz
bode(B_s, P);

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问题出现在MATLAB的d2c函数上面,d2c 的 ZOH 不是“还原”，而是“拟合。

butter设计数字滤波器默认采用双线性变换。这个变换会把模拟域无穷远处的零点，压缩映射到数字域的奈奎斯特频率（z=−1）。所以，数字滤波器分子上天然就带着一个 零点。当我们把S域变换到Z域的时候，我们使用如下公式近似。

将模拟一阶低通 代入上式，必然得到：

即在 （奈奎斯特频率2500Hz 处）存在一个离散零点。现在，d2c 的 ZOH 逆变换公式对于一个真实的一阶连续系统 离散化后，其分子形式只能是：

注意：这里没有常数项。

d2c 拿着变换出来假的 （既有 又有 ）去反推，发现用一阶连续系统根本无法在数学上产生这个结构。为了强行完成矩阵运算，它的算法被迫将系统升阶为 2 阶，并在连续域 s 平面引入了一个“负实数零点”。

正是这个强行配平出来的连续域有限零点，在高频区提供了 +90°的超前相位。此时相位的折返和频率的斜率拉平也就不难理解了。所以这个有限零点只存在于 d2c 的数学等价的连续模型中，物理世界绝对没有。

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