几种优化方法的Matlab实现：算法代码与实例

题目

目标函数

function y=F(x, N)
y=0;
for i=1:(N-1)
    y=y+(1-x(i))^2+100*(x(i+1)-x(i)^2)^2;
end
end

函数梯度（N维向量，注意首尾变量）

function g=G(x, N)
g=zeros(N,1);
g(1)=2*(x(1)-1)+400*(x(1)^3-x(2)*x(1));
for i=2:(N-1)
    g(i)=200*(x(i)-x(i-1)^2)+2*(x(i)-1)+400*(x(i)^3-x(i+1)*x(i));
end
g(N)=200*(x(N)-x(N-1)^2);
end

Hessen矩阵（ N × N N\times N N×N，对梯度再求导）

function h=H(x, N)
h=zeros(N,N);
h(1,1)=2+1200*x(1)^2-400*x(2);
h(1,2)=-400*x(1);
for i=2:(N-1)
    h(i,i-1)=-400*x(i-1);
    h(i,i)=202+1200*x(i)^2-400*x(i+1);
    h(i,i+1)=-400*x(i);
end
h(N,N-1)=-400*x(N-1);
h(N, N)=200;
end

几种 优化 方法的不同之处主要在于搜索方向的选取，步长使用不精确的线搜索得到（满足Wolfe-Powell准则）。

   线搜索部分可以参考线搜索(line search)方法

最速下降法 （梯度下降，Gradient Descend）##

x ( k + 1 ) = x ( k ) − λ k ∇ f ( x ( k ) ) x^{(k+1)}=x^{(k)}-\lambda_k\nabla f(x^{(k)}) x(k+1)=x(k)−λk​∇f(x(k))

function main_gd
N=100;
x0=zeros(N,1);
eps=1e-4;
g0=G(x0, N);
step=0;
while norm(g0)>=eps
    F0=F(x0, N);
    fprintf('step %d: %.10f\t %f\n',step, F0, norm(g0));
    s0=-g0;
    %linear search
    lambda0=1;
    c1=0.1; c2=0.5;
    a=0; b= inf;
    temp=g0'* s0;
    while 1
        x1=x0+lambda0*s0;
        if F0-F(x1, N) < -c1*lambda0*temp
            b=lambda0;
            lambda=(lambda0+a)/2;
        elseif G(x1, N)'*s0 < c2*temp
            a=lambda0;
            lambda=min(2*lambda0, (lambda0+b)/2);
        else
            break;
        end
        if abs(lambda-lambda0)<=eps
            break;
        else
            lambda0=lambda;
        end
    end
    x0=x0+lambda0*s0;
    g0=G(x0,N);
    step=step+1;
end
fprintf('--------Gradient Descent (total step %d)---------\nx*=',step)
for i=1:N
    fprintf('%.2f ',x0(i));
end
end

牛顿法 （Newton）

x ( k + 1 ) = x ( k ) − ( ∇ 2 f ( x ( k ) ) ) − 1 ∇ f ( x ( k ) ) x^{(k+1)}=x^{(k)}-(\nabla^2f(x^{(k)}))^{-1}\nabla f(x^{(k)}) x(k+1)=x(k)−(∇2f(x(k)))−1∇f(x(k))

function main_nt
N=100;
x0=zeros(N,1);
eps=1e-4;
g0=G(x0, N);
step=0;
while norm(g0)>=eps
    fprintf('step %d: %.10f\t %f\n',step, F(x0, N), norm(g0));
    x0=x0-H(x0, N)\g0;
    g0=G(x0, N);
    step=step+1;
end
fprintf('--------Newton (total step %d)---------\nx*=',step)
for i=1:N
    fprintf('%.2f ',x0(i));
end
fprintf('\nf(x*)=%.2f\n',F(x0, N));
end

BFGS方法 (拟牛顿法)

迭代方式逐步近似Hessen阵，初始 H 0 = I \mathbf{H}_0=\mathbf{I} H0​=I：
x ( k + 1 ) = x ( k ) − λ k H k − 1 ∇ f ( x ( k ) ) x^{(k+1)}=x^{(k)}-\lambda_k\mathbf{H}_k^{-1}\nabla f(x^{(k)}) x(k+1)=x(k)−λk​Hk−1​∇f(x(k))

function main_bfgs
N=100;
x0=zeros(N,1);
eps=1e-4;
g0=G(x0, N);
step=0;
H=eye(N, N);
while norm(g0)>=eps 
    fprintf('step %d: %.10f\t %f\n',step, F(x0, N), norm(g0));
    s0=-H*g0;
    %linear search
    lambda0=1;
    c1=0.1; c2=0.5;
    a=0; b= inf;
    temp=g0'* s0;
    while 1
        x1=x0+lambda0*s0;
        if F(x0, N)-F(x1, N) < -c1*lambda0*temp
            b=lambda0;
            lambda=(lambda0+a)/2;
        elseif G(x1, N)'*s0 < c2*temp
            a=lambda0;
            lambda=min(2*lambda0, (lambda0+b)/2);
        else
            break;
        end
        if abs(lambda-lambda0)<=eps
            break;
        else
            lambda0=lambda;
        end
        %fprintf('%f\n',lambda0);
    end
    
    x1=x0+lambda0*s0;
    g1=G(x1, N);
    delta_x=x1-x0;
    delta_g=g1-g0;
    miu=1+((delta_g')*H*delta_g)/((delta_x')*delta_g);
    % 更新H
    H=H+((miu*delta_x*(delta_x')-H*delta_g*(delta_x')-delta_x*(delta_g')*H))/((delta_x')*delta_g);
    x0=x1;
    g0=g1;
    step=step+1;
end
fprintf('--------BFGS (total step %d)---------\nx*=',step)
for i=1:N
    fprintf('%.2f ',x0(i));
end
fprintf('\nf(x*)=%.2f\n',F(x0, N));
end

FR（ 共轭梯度 法，Conjugate Gradient）

由Fletcher 和 Reeves 提出，我找了半天才知道FR方法即共轭梯度法…
注意对于N维问题的共轭方向只有N个，在N步之后需要重新选择初始点。

附算法框架图（来自：共轭梯度法通俗讲义）：

function main_frcg
N=100;
x0=zeros(N,1);
eps=1e-4;
g0=G(x0, N);
s0=-g0;
step=0;

while norm(g0)>=eps 
    fprintf('step %d: %.10f\t %f\n',step, F(x0, N), norm(g0));
    %linear search
    lambda0=1;
    c1=0.1; c2=0.5;
    a=0; b= inf;
    temp=g0'* s0;
    while 1
        x1=x0+lambda0*s0;
        if F(x0, N)-F(x1, N) < -c1*lambda0*temp
            b=lambda0;
            lambda=(lambda0+a)/2;
        elseif G(x1, N)'*s0 < c2*temp
            a=lambda0;
            lambda=min(2*lambda0, (lambda0+b)/2);
        else
            break;
        end
        if abs(lambda-lambda0)<=1e-10
            break;
        else
            lambda0=lambda;
        end
    end
    x1=x0+lambda0*s0;
    g1=G(x1, N);
    miu=(g1'*g1)/(g0'*g0);
    %以N步的近似极小点作为新的初始点
    if step>=N-1
        miu=0;
    end
    s0=-g1+miu*s0;
    x0=x1;
    g0=g1;
    step=step+1;  
end
fprintf('--------FR Conjugate Gradient (total step %d)---------\nx*=',step)
for i=1:N
    fprintf('%.2f ',x0(i));
end
fprintf('\nf(x*)=%.2f\n',F(x0, N));
end

结论

通过运行可以发现，收敛速度最快的是Newton法，其次是拟Newton法（BFGS），再是共轭梯度法，最后是 梯度下降法 。

--------Newton (total step 73)---------
x*=1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 
f(x*)=0.00
--------BFGS (total step 462)---------
--------FR Conjugate Gradient (total step 26906)---------
--------Gradient Descent (total step 27236)---------



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