有限元分析中如何引入位移边界条件及修正整体刚度矩阵的方法

在上面讨论中已经指出，有限元求解方程的系数矩阵具有奇异性，必须引入适当的位移约束条件，以消除这种奇异性，亦即消除弹性体的刚体位移。消除了整体刚度矩阵的奇异性后，才能从方程组（32）求解结点位移。在一般情况下，所考虑问题的边界往往已有一定的约束条件，排除了刚体运动的可能性。否则，可适当指定某些结点的位移值，以避免计算机存储作大的更动。下面就介绍两种比较简单的引入已知结点位移的方法。

1、对角元素改l法

这种方法是把结点的指定值置入方程给(32)，保持方程仍是2nX2n阶，而将K和P修正。例如，若指定结点i在y方向位移v_i的值，则令K中的元素K_i,i为1，而第i行和i列的其余元素都为零。P中的第i个元素则用位移v的已知值代入，P中的其他各行元素都减去结点位移的指定值和原来K中这行的相应行元素的乘积。

为了说明这一引进结点已知位移的过程，我们来考察下面只有四个方程的简单例子。方程(32)展开成如下的形式

　

　

设这个系统中结点位移u₁和u₂被指定为

　

　

当引用上述方法后，方程(50)就变成

　

　

　

然后，就用这组维数不变的方程来求解所有的结点位移。显然，其解答为u₁=β₁、u₂=β₃；

v₁、v₂仍为原方程的解答。

这种方法最适用于给定零位移，此时除将给定的零值位移修改对应的载荷阵元(如例中令P_x1=0，P_x2=0)外，其他载荷阵中的元素不必作任何修正。

2、对角元素乘大数法

此法是将K中与指定结点位移有关的主对角元素乘上一个大数，例2xl0¹⁵，同时将p的

对应元素换上结点位移指定值与同一个大数的乘积。实际上，这种方法就是使得K中相应行的修正项远大于非修正项。

若用此方法来修正上面的例子，则方程(50)将成为

　

　

　

　

　

　

以上两种方法都保持了原来K矩阵的稀疏、带状和对称等特性。

要注意的是以上所述适用于引入坐标方向位移，若给定位移在非坐标方向，如支座等，则需要进行坐标转换后才能实施，这里不再细述。