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6.1 数据插值
数据插值可以根据有限个点的取值状况，合理估算出附近其他点的取值。
一、引例
零件加工问题
在飞机制造中，机翼的加工是一项关键技术。由于机翼尺寸很大，通常 在图纸中只能标出一些关键点的数据。下表给出了某型飞机机翼的下缘 轮廓线数据，求x每改变0.1时y的值。
x 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15
y 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6
代码：>> x= [0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];
>> y=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6];
>> x1=0:0.1:15;
>> y1=interp1(x,y,x1,'spline');
>> plot(x1,y1)
二、计算机制
数据插值是一种函数逼近的方法。
1、interp1()：一维插值函数
调用格式：Y1=interp1(X,Y,x1,method)
其中，X、Y是两个等长的已知向量，分别表示采样点和采样值。x1是一个向量或标量，表示要插值的点。
method参数用于指定插值的计算方法：
（1）、linear：线性插值（默认方法）。将与插值点靠近的两个数据点用直线连接，然后在直线上选取对应插值点数据。
（2）、nearest：最近点插值。选择最近样本点插值。
（3）、pchip：分段3次埃尔米特插值。采用分段三次多项式，除满足插值条件，还需满足在若干节点处相邻段插值函数的一阶导数相等，使得曲线光滑的同时，还具有保形性。
（4）、spline：3次样条插值。每个分段内构造一个三次多项式，使其插值函数除满足插值条件外，还要求在各节点处具有连续的一阶和二阶导数。
2、interp2()：二维插值函数
调用格式：Z1=interp2(X,Y,Z,x1,Y1,method)
其中，X、Y是两个已知向量，表示两个参数的采样点，Z是采样点对应的函数值。x1、Y1是两个向量或标量，表示要插值的点。
6.2 曲线拟合
一、引例
人口增长是当今世界上都关注的问题，对人口增长趋势进行预测是各国普遍的做法。已知某国1790年到2010年间历次人口普查数据如下表所示，请预测该国2020年的人口数。
解题思路：找一个函数，去逼近这些数据，然后再根据找到的函数，计算预测点的值。
代码：>>x=1790:10:2010;
>>y=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,63.0,76.0,92.0,105.7,122.8,131.7,150.7,179.3,203.2,226.5,248.7,281.4,308.7];
>>plot(x,y,'*');
>>p=polyfit(x,y,3);
>>polyval(p,2020)
>>plot(x,y,'*',x,polyval(p,x));
二、计算机制
曲线拟合同数据插值类似，也是函数逼近的方法：构造函数g(x)去逼近未知函数f(x)，使得误差
1、最小二乘法：最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误 差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。
设p(x)是一个多项式函数
且
的值最小，则p(x)为原函数y=f(x)的逼近函数。
2、MATLAB中的多项式拟合函数为polyfit()，其功能为求得最小二乘拟合多项式系数，其调用格式为：
（1）P=polyfit(X,Y,m)
（2）[P,S]=polyfit(X,Y,m)
（3）[P,S,mu]=polyfit(X,Y,m)：根据样本数据X和Y，产生一个m次多项式P及其在采样点误差数据S，mu是一个二元向量，mu(1)是mean(X)，而mu(2)是 std(X)。
3、注意事项
（1）要对问题的背景进行详细的分析。
（2）采样点并非越多越好，适当的时候，可以减少采样点，分段进行拟合。
6.3 数据插值与曲线拟合比较
相同点：都属于函数逼近方法
都能进行数据估算
不同点：实现方法不同
结果形式不同
侧重点不同
应用场合不同
155-2731-8020
