基于钱币搜索的BCH编解码MATLAB仿真研究，展示误码率与编码增益曲线

1.算法仿真效果

matlab2022a仿真结果如下：

2.算法涉及理论知识概要

BCH编译码是一种纠错能力强，构造简单的信道编译码。BCH编译码的生成多项式可以由如下的式子表示：

①BCH码是一种纠错码、线性分组码、循环码。

②需要传输信息位数：k

③纠错能力：t

④总码长（信息位+监督位）：n

⑤n的长度满足n=2^m – 1时生成的为本原BCH码；n的长度为2^m – 1的因子时为非本原BCH码

（如n=15，n=31，n=63时为本原BCH码；n=21（可被63整除）等时为非本原BCH码）

⑥此外还有加长BCH码和缩短BCH码。

⑦具体的BCH码通常用BCH（n,k）码来表示。

加长BCH码和缩短BCH码：

因为本原BCH码和非本原BCH码要求了n的长度，但很多情况下我们想要的码长并不满足n=2^m – 1或其因子。这时候就需要加长BCH码和缩短BCH码。

1）缩短BCH码

BCH(50,32)码是扩展域GF(2^6)上BCH(63,45)码的缩短码。BCH(50,32)码和BCH(63,45)码的区别与联系：

①两者纠错能力相同，生成多项式相同。

②缩短码的实现只需要在编译码时在高位上补0，从k = 32凑到k = 45即可。

2）加长BCH码

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在本原BCH码或非本原BCH码的生成多项式中乘因式(x+1)，可以得到加长BCH码(n+1,k)，加了一个校验位。

编码之后的码字包含信息字节和校验字节，其表达式如下所示：

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BCH译码过程主要通过计算伴随式sj得到错误位置多项式，然后通过chein算法计算错误位置多项式的根，从而确定错误位置数。并最终由错误位置数得到错误值以及错误图样E(x)，最后通过R(x)- E(x)= C(x)进行纠错。

3.MATLAB核心程序

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    GFalpha(i)=B2^(2*t-i+1);
end;
 
for j=1:data_Len2
    %Data segmentation
    rec_data = rec_data2((j-1)*n+1:(j-1)*n+n);
    BCH_tmp  = gf(zeros(1, 2*t), m);
    
    for i=1:n
        BCH_tmp = BCH_tmp.*GFalpha+rec_data(n-i+1);%GFalpha Summation and accumulation
    end;
    
    Lmds1     = gf([1, zeros(1, t)], m);
    Lmds2     = Lmds1;
    b1        = gf([0, 1, zeros(1, t)], m);
    b2        = gf([0, 0, 1, zeros(1, t)], m);
    k1        = 0;
    
    Gam       = B1;
    delta     = B0;
    
    BCH_array = gf(zeros(1, t+1), m);
 
    for r=1:t
        r1                = 2*t-2*r+2;
        r2                = min(r1+t, 2*t);
        num               = r2-r1+1;
        BCH_array(1: num) = BCH_tmp(r1:r2);
        
        delta             = BCH_array*Lmds1';
        Lmds2             = Lmds1;
        Lmds1             = Gam*Lmds1-delta*b2(2:t+2);
        
        if (delta~= B0) && (k1>=0)
            b2(3)     = B0;
            b2(4:3+t) = Lmds2(1:t);
            Gam       = delta;
            k1        = -k1;
        else
            b2(3:3+t) = b2(1:t+1);
            Gam       = Gam;
            k1        = k1+2;
        end
    end
    invdat = gf(zeros(1, t+1), m);
    for i=1:t+1
        invdat(i) = B2^(-i+1);
    end;
    %chein search
    Lmds3    = B0;
    acc      = gf(ones(1, t+1), m);
    for i=1:n
        Lmds3 = Lmds1*acc';
        acc   = acc.*invdat;
        
        if Lmds3==B0 
           errs(1,n-i+1) = 1;
        else
           errs(1,n-i+1) = 0;
        end
    end
    
    smll = find(errs(1,:)~=0);
    for i=1:length(smll)
        pos = smll(i);
        if pos <= k;
           rec_data(n-pos+1) = rec_data(n-pos+1) + B1;
        end
    end
    GFdec((j-1)*k+1:(j-1)*k+k) = rec_data(n-k+1:n);%the decode output
end

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