CFD理论探讨：网格梯度求解方法

导读：介绍CFD计算中变量梯度的求解，分析Green-Gauss Cell Based和Green-Gauss Node Based两种方法。

背景

• 变量的存储位置

在CFD计算中，变量均会被储存在网格中心，无论是在Openfoam、Fluent、Star CCM上面的计算，都遵循这个规则。

（这与Ansys CFX有区别，变量在CFX中是存储在节点上。）

CFD代码会在网格中心计算这些变量。

• 变量的梯度

但如果想得到这些变量的梯度呢？需要注意的是，在笛卡尔坐标系中，变量的梯度具有三个分量，以温度为例：  

如果已经网格中心的变量值，则其梯度也就容易获得。

• 梯度的用处

为什么在CFD计算需要这些梯度？

1）如果对流项采用线性迎风差分方案时，这时候需要用到变量的梯度：                                                                    

2）对于一些质量差的网格进行非正交修正，需要用到梯度；

3）计算某些源项时，会用到变量的梯度。

在CFD计算中，都需要先设定好梯度的计算方案，比方说在OpenFoam的计算中，这里选择的是高斯离散：

比方说在FLuent计算中，需要设置好空间的离散方案，这里选择的是最小二乘单元格：

1D梯度计算

当网格沿着         方向时，通过一个网格面的梯度就可以表示为：                                                                                          

其中                   表示相邻网格的距离。当然变量在三个方向都有梯度，在Y方向，Z方向。对于网格的左表面也是用同样的方法来计算梯度。

对于网格                的梯度，对于一维而言，可以取左右平面的梯度的平均值来获得。但在三维中这种方式并不准确。

3D梯度计算

在三维中，网格具有多个指向不同方向的网格面,网格面也会有三角形，四边形，多边形等。

目前有三种方法可以计算网格中心变量的梯度。

1）Green-Gauss Cell Based(线性方案)

2）Green-Gauss Nodeed(节点线性方案）

3）Least-Squares（最小二乘法）

本文着重介绍前面两种方案。

小结

基于网格与基于节点方案

根据网格面 中心变量计算方法的不同Green-Gauss方法可以分为两种：

1）线性差值（Green-Gauss Cell Based）；

2）节点平均（Green-Gauss Node Based）。

Green-Gauss Cell Based

基于线性插值方法获得网格中心面的值。  

其中         为相邻网格之间的距离系数。方案。

Green-Gauss Node Based

基于节点方案就是取围绕网格面的节点的平均值，来获得网格面中心值：                                                        

两种方案的区别

1）偏斜度误差（Skewness Error）：基于网格方案（reen-Gauss Cell Based）计算的面中心值与实际有一定的偏差，如下图所示：相反，基于节点方案（Green-Gauss Node Based）则不会出现这种问题，换句话而言，基于节点方案计算更加精确。、

2）计算量：基于节点方案计算量更大，计算过程中必须将节点上的温度作为单独的变量来计算，这里不做展开。

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