迭代（一）：迭代算法基础与实例

迭代这个看似熟悉，又不太熟悉的概念，碰到过好多次了，于是，今天查阅资料，看了一片有了点意识。

资料来自百度百科，当然，我这指的是编程中的迭代

编程中的迭代

有些国外的教材，如《C++ Primer》第四版的 中文版  ，会把iterative翻译成迭代。

iterative是反复的意思，所以，有时候，迭代也会指循环执行，反复执行的意思。

迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行，在每次执行这组指令(或这些步骤)时，都从变量的原值推出它的一个新值。

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：

第一确定迭代变量　　

在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

第二建立迭代关系式　　

所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系)。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

第三对迭代过程进行控制

在什么时候结束迭代过程?这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

例 1 ： 一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，问到第 12 个月时，该饲养场共有兔子多少只?

以下是引用片段：

　　u 1 = 1 ， u 2 = u 1 + u 1 × 1 = 2 ， u 3 = u 2 + u 2 × 1 = 4 ，……

　　根据这个规律，可以归纳出下面的递推公式：

　　以下是引用片段：

　　u n = (u n - 1) × 2 (n ≥ 2)

　　对应 u n 和 u n - 1 ，定义两个迭代变量 y 和 x ，可将上面的递推公式转换成如下迭代关系：

　　以下是引用片段：

　　y=x*2

　　x=y

　　让计算机对这个迭代关系重复执行 11 次，就可以算出第 12 个月时的兔子数。参考程序如下：

x=1;

for(int i=2;i<=12;i++){

       y=x*2;

       x=y;

}

验证谷角猜想。

日本数学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个奇怪现象：对于任意一个自然数 n ，若 n 为偶数，则将其除以 2 ;若 n 为奇数，则将其乘以 3 ，然后再加 1 。如此经过有限次运算后，总可以得到自然数 1 。人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想”。

　　要求：编写一个程序，由键盘输入一个自然数 n ，把 n 经过有限次运算后，最终变成自然数 1 的全过程打印出来。

　　分析： 定义迭代变量为 n ，按照谷角猜想的内容，可以得到两种情况下的迭代关系式：当 n 为偶数时， n=n/2 ;当 n 为奇数时， n=n*3+1 。用 QBASIC 语言把它描述出来就是：

　　以下是引用片段：

　　if n 为偶数 then

　　n=n/2

　　else

　　n=n*3+1

　　end if

这就是需要计算机重复执行的迭代过程。这个迭代过程需要重复执行多少次，才能使迭代变量 n 最终变成自然数 1 ，这是我们无法计算出来的。因此，还需进一步确定用来结束迭代过程的条件。仔细分析题目要求，不难看出，对任意给定的一个自然数 n ，只要经过有限次运算后，能够得到自然数 1 ，就已经完成了验证工作。因此，用来结束迭代过程的条件可以定义为： n=1 。参考程序如下：

cls

　　input "Please input n=";n

　　do until n=1

　　if n mod 2=0 then

　　rem 如果 n 为偶数，则调用迭代公式 n=n/2

　　n=n/2

　　print "—";n;

　　else

　　n=n*3+1

　　print "—";n;

　　end if

　　loop

　　end

自己编写的JAVA 程序：

int x=100;

     int y=x/2;

     while(y!=1){

      if(y%2==0){

       y=y/2;

      }else{

       y=y*3+1;

      }

     }
System.out.println(y);

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