matlab数学建模第五章：常用算法与案例分析

函数的导数

       使用diff函数

syms xy=-x*sin(x)diff(y,x,2)          %求2。求y对x的2阶导数diff(y,x,3)          %求2。求y对x的3阶导数

隐函数的偏导数

       z对 x 偏导数、z对y偏导数

syms a x y zf=x^2-y^2+2*z^2-a^2zx=-diff(f,x)/ diff(f,z)       %求z对x偏导数zy=-diff(f,y)/ diff(f,z)       %求z对y偏导数

       二元函数中y对x偏导

syms x y;f = (x ^ 2+ 2 * x) * exp( x ^ 2 + y ^ 2 +2* x * y);diff(f, x) / diff(f, y)

极限问题

       利用limit命令来计算 极限 ，但limit命令属于符号计算，需要用syms命令给出符号变量。

       在x趋近于y情况下：

syms y m xf = (x ^ (1/n) +y ^ (1/n)) / (x+y)limit (f,x,y)

      多变量函数：

嵌套使用limit函数： L1=limit( limit( f, x, x0 ), y ,y0 ) 或者 L2=limit( limit( f, y, y0 ), x ,x0 ) 如果x0或者y0不是确定的值，而是另外一个变量的函数，如x→g（y），则上述极限的求取顺序不能交换。

clear allclcsyms x y a;f = exp(-1/(y^2-x^2));L = limit(limit(f,x,1/sqrt(y)),y,inf)%求取顺序不能交换

求解积分问题

       求解定 积分 和不定积分。采用int函数

F = int( fun, x ) %直接求解不定积分，如果被积函数fun中只有一个变量，那么x可以省略。 %该积分得出的结果F（x）是积分原函数，实际的不定积分应该是F（x）+C

syms x tf=x*t/(1-x^2)int(f,t)

F = int( f, x, a, b ) %其中x为自变量，（a， b）是积分区间，求解无穷区间时，可将ab设置为-inf或者inf。 %当a，b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。

clear allclcx=sym('x')f=x^4/(x+1)^12I=int(f,3,5)double(I) 

       多重积分

先根据实际情况选择积分顺序，可积部分作为内积分，然后再处理外积分。如果交换顺序后仍然不能求解出解析解，说明原积分没有解析解，需要用数值方法求解。

syms t x c1 c2,               y = int(int(exp(-t * x), t) + c1, x) + c2

       注意要加上 c1

级数展开和求和

级数展开： ①taylor幂级数展开 taylor( f, x, k ) %按照x=0进行泰勒展开 taylor( f, x, k, a ) %按照x=a进行泰勒展开 ②fourier级数展开 [ A, B, F ] = fseries( f, x, p, a, b ) %f为给定函数，x为自变量，p为展开项数，ab为x的区间，默认为[-π，π] %AB为fourier系数，F为展开式

clear allclcx=sym('x')f1=sqrt(x+x^3)-(x+x^2)^(1/3)taylor(f1,x,4)

        Fourier级数 展开函数文件

function [A,B,F]=fseries(f,x,n,a,b)if nargin==3, a=-pi; b=pi; end     % nargin是实际函数输入参数个数L=(b-a)/2; if a+b, f=subs(f,x,x+L+a); end    %如果x区间对于y轴非对称，就将x置换为x+L+aA=int(f,x,-L,L)/L; B=[]; F=A/2;   %求a0/2   %以下循环是求an和bnfor i=1:n an=int(f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L)/L;  bn=int(f*sin(i*pi*x/L),x,-L,L)/L; A=[A, an]; B=[B,bn];  F=F+an*cos(i*pi*x/L)+bn*sin(i*pi*x/L);endif a+bF=subs(F,x,x-L-a); end    %如果x区间对于y轴非对称，再将x置换回x-L-a

级数求和： symsum( fk, k, k0, kn ) %其中fk为级数通项，k为级数自变量（只有一个时可以省略），k0和kn为起始项和终止项。

clear allclcn=sym('n')s1= symsum(1/n^2,n,1,inf)

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