Matlab快速入门：数学运算篇

一、数列

1.数列求和

在Matlab 中，求数列和的函数是：sum()。

例：求自然数列的前10项和。

>> a=1:1:10

a =

     1     2     3     4     5     6     7     8     9    10

>> s=sum(a)

s =

    55

注意：若是对矩阵求和，则求的是每一列的和。

>> a=[1,2,3;2,3,4]

a =

     1     2     3
     2     3     4

>> b=sum(a)

b =

     3     5     7

2.最大值、最小值（max 、min ）

>> a=[4,6,8,3,12,6,9]

a =

     4     6     8     3    12     6     9

>> b=max(a)

b =

    12

>> c=min(a)

c =

     3

3.排序（sort )

>> a=[4,6,8,3,12,6,9];
>> sort(a)

ans =

     3     4     6     6     8     9    12

二、极限

Matlab命令：limit(f,x,a)——求解： $\lim_{x \rightarrow a}{f(x)}$\lim_{x \rightarrow a}{f(x)} ；limit(f)——求解： $\lim_{x \rightarrow 0}{f(x)}$\lim_{x \rightarrow 0}{f(x)} ；limit(f,x,a,'right')—— $\lim_{x \rightarrow a^{+}}{f(x)}$\lim_{x \rightarrow a^{+}}{f(x)} 。

例：求解 $\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{1-cosx}{3x^{2}}}$\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{1-cosx}{3x^{2}}} .

>> syms x     %定义一个符号变量
>> y=limit((1-cos(x))/(3*x^2))
 
y =
 
1/6

三、微分

1.导数

Matlab命令：diff(f,x,n)——求多元函数f(x,y, $\cdot\cdot\cdot$\cdot\cdot\cdot )对x的n阶导数。

例：求 $f(x,y)=x^3*cos(y)+y^2*sin(x)$f(x,y)=x^3*cos(y)+y^2*sin(x) 对x的2阶导数。

>> syms x y f;
>> f=x^3+cos(y)+y^2*sin(x);
>> h=diff(f,x,2)
 
h =
 
- sin(x)*y^2 + 6*x

2.泰勒展开

泰勒展开可以简单理解为用多项式函数去逼近一个光滑函数，这样处理便于理解函数，可以得到许多好用的性质。麦克劳林公式，它是泰勒展开的一种特例，使用频率远大于泰勒展开。

麦克劳林公式：

$f(x)=f(0)+f^{'}(0)+\frac{f^{''}(0)}{2!}x^{2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}(0<\xi<x)$f(x)=f(0)+f^{'}(0)+\frac{f^{''}(0)}{2!}x^{2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}(0<\xi<x)

Matlab命令：taylor(f,'Order',m)——关于系统默认变量x求 $\sum_{n=0}^{m}{\frac{f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}$\sum_{n=0}^{m}{\frac{f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}

'Order'：指定截断参数，对应值为一个正整数。未设置时，截断参数为6，即展开式的最高阶为5。

例：求sin(x)的4阶、5阶麦克劳林展开。

>> syms x;
y=sin(x);
>> f5=taylor(y)
 
f5 =
 
x^5/120 - x^3/6 + x
 
>> f4=taylor(y,'Order',5)
 
f4 =
 
- x^3/6 + x

四、积分

1.不定积分

Matlab命令：int(f,x)

例：求 $f=sin(xy)*e^{y}$f=sin(xy)*e^{y} 对y的不定积分。

>> syms x y f;
f=sin(x*y)*exp(y);
>> h=int(f,y)
 
h =
 
(exp(y)*(sin(x*y) - x*cos(x*y)))/(x^2 + 1)

2.定积分

Matlab命令：int(f,x,a,b)——求函数f关于x在区间[a,b]上的定积分

例：求 $f=e^{-x^{2}}$f=e^{-x^{2}} 在区间 $\left[0,+\infty \right]$\left[0,+\infty \right] 上的定积分。

>> syms x y;
>> f=exp(-x^2);
>> h=int(f,x,0,inf)
 
h =
 
pi^(1/2)/2

3.多重积分

Matlab命令：dblquad (fun,xmin,xmax,ymin,ymax)——默认的公差为 $10^{-6}$10^{-6}

多重积分计算需要用到部分编程的内容，在后续章节中会详细展示。

五、训练题

1.建立一个符号表达式y=cos( (a+b)*x)，计算以变量x从pi/2到pi的积分

2.计算 $ln(x+1)、\frac{1}{1+x}、\frac{1}{1-x}、cos(x)、e^{x}$ln(x+1)、\frac{1}{1+x}、\frac{1}{1-x}、cos(x)、e^{x} 的4阶、5阶麦克劳林展开

3.分别求 $f(x,y)=e^{x}*sin(y)-y^2*log(x-1)$f(x,y)=e^{x}*sin(y)-y^2*log(x-1) 对x和y的2阶导数

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