Fluent求解器揭秘：两相模型中的相间传质奥秘

1 适用范围

Fluent 可以处理的相间传质现象大致分为以下两种：

1、液体蒸发成蒸气后进入气体混合物中，如液态水蒸发后形成空气与水蒸气的混合物；

2、气体混合物中的某些易溶解气体成分被液体吸收，如空气中的氧气溶解于水中。

Mixture Model 与 Eulerian Model 都可以求解上述物理现象，但需要满足以下条件：

1、相必须要使用 mixture-templat 作为材料型，并且相中至少存在一种物质；

2、这混合相之间存在重合，即形成交界面（在同一个domain下）；

3、传质现象只能发生在同一物种之间，从一个状态到另一个状态，例如，液态水和水蒸气之间的蒸发或冷凝；

4、与 Fluent 中其他的间相传质模型一样，如果气体混合物参与两相间的物种传质过程，则总是将其定义为“to phase”，而将液体混合物视为“from phase”相；

5、对于参与传质现象的物质，两相的质量分数必须通过求解运输方程来确定。例如，在蒸发或冷凝情况下，水和水蒸气的质量分数必须直接从控制方程中求解，而不是从代数或物理约束关系中得出。

2 数学描述

2.1 传质运输方程

为了模拟相间质传递，将质量运输方程与连续性方程、动量方程和能量方程一起求解。控制方程如下

$\frac{\partial\left(\alpha_{q}\rho_{q}Y_{q}^{i}\right)}{\partial t}+\nabla\cdot\left(\alpha_{q}\rho_{q}\vec{V}_{q}Y_{q}^{i}\right)=-\nabla\cdot\left(\alpha_{q}\vec{J}_{q}^{i}\right)+\alpha_{q}R_{q}^{i}+\alpha_{q}S_{q}^{i}+\sum_{p=1}^{n}\dot{m}_{p^{i}q^{j}}+R$\frac{\partial\left(\alpha_{q}\rho_{q}Y_{q}^{i}\right)}{\partial t}+\nabla\cdot\left(\alpha_{q}\rho_{q}\vec{V}_{q}Y_{q}^{i}\right)=-\nabla\cdot\left(\alpha_{q}\vec{J}_{q}^{i}\right)+\alpha_{q}R_{q}^{i}+\alpha_{q}S_{q}^{i}+\sum_{p=1}^{n}\dot{m}_{p^{i}q^{j}}+R

其中， $Y_{q}^{i}$Y_{q}^{i} 为 $q$q 相中成分 $i$i 的局部质量分数， $n$n 代表系统中相的数量， $\alpha_q$\alpha_q 为 $q$q 相的体积分数。其中最为重要的一项在方程右侧的 $\sum_{p=1}^{n}\dot{m}_{p^{i}q^{j}}$\sum_{p=1}^{n}\dot{m}_{p^{i}q^{j}} ，它代表了从 $p$p 相组分 $j$j 传入 $q$q 相组分 $i$i 的质量源相。

在计算传质源项时，通常会假设物种的传质速率是关于输送物种质量浓度梯度的函数：

$\dot{m}_{p^{i}q^{j}}=k_{pq}A_{i}\bigl(K_{q^{i}p^{j}}^{\rho}\rho_{p}^{j}-\rho_{q}^{i}\bigr)$\dot{m}_{p^{i}q^{j}}=k_{pq}A_{i}\bigl(K_{q^{i}p^{j}}^{\rho}\rho_{p}^{j}-\rho_{q}^{i}\bigr)

其中， $k_{pq}$k_{pq} 为 $p::j$p::j （ $p$p 相中的组分 $j$j ）与 $q::i$q::i 之间的体积传质系数， $K_{q^{i}p^{j}}^{\rho}$K_{q^{i}p^{j}}^{\rho} 为异相密度修正系数。

2.2 Equilibrium 模型

Equilibrium 模型用于计算上式中的平衡比率系数 $K_{q^{i}p^{j}}^{\rho}$K_{q^{i}p^{j}}^{\rho}，模型假设两个相上的传递物种处于动态平衡的情况。相间传质速率由两相间运输物质浓度之间的关系确定。

在平衡状态下，两相上的物质浓度通常是不同的。然而，两种状态的物质浓度之间存在一条明确的平衡曲线。对于二元混合物，平衡曲线取决于温度和压力。对于多组分混合物，它也是与混合物组成相关的函数。平衡曲线通常具有单调性及非线性，并且由物质 $p::j$p::j 与 $q::i$q::i 的摩尔分数决定：

$X_{q,e}^{i}=F(X_{p,e}^{j})$X_{q,e}^{i}=F(X_{p,e}^{j})

最简单的平衡曲线是准线性的，即假定在平衡状态下，相间物质的摩尔分数成比例：

$X_{q,e}^{i}=K_{q^{i}p^{j}}^{x}X_{p,e}^{j}$X_{q,e}^{i}=K_{q^{i}p^{j}}^{x}X_{p,e}^{j}

其中， $X_{q,e}^{i}$X_{q,e}^{i} 为摩尔分数平衡比，这种关系也适用于其他需要平衡的物理量：

$\begin{gathered} c_{q,e}^{i} =K_{q^{i}p^{j}}^{c}c_{p,e}^{j} \\ \rho_{q,e}^{i} =K_{q^{i}p^{j}}^{\rho}\rho_{p,e}^{j} \\ Y_{q,e}^{i} =K_{q^{i}p^{j}}^{y}Y_{p,e}^{j} \end{gathered}$\begin{gathered} c_{q,e}^{i} =K_{q^{i}p^{j}}^{c}c_{p,e}^{j} \\ \rho_{q,e}^{i} =K_{q^{i}p^{j}}^{\rho}\rho_{p,e}^{j} \\ Y_{q,e}^{i} =K_{q^{i}p^{j}}^{y}Y_{p,e}^{j} \end{gathered}

其中 $c_{q,e}^{i}$c_{q,e}^{i} 为 $q::i$q::i 的摩尔浓度， $\rho_{q,e}^{i}$\rho_{q,e}^{i} 为 $q::i$q::i 的密度， $Y_{q,e}^{i}$Y_{q,e}^{i} 为 $q::i$q::i 的质量分数。这些物理量之间的关系如下：

$\begin{gathered} \rho_{q}^{i}=M^{i}c_{q}^{i} \\ X_{q}^{i}=\frac{c_{q}^{i}}{c_{q}} \\ Y_{q}^{i}= \frac{\rho_{q}^{i}}{\rho_{q}} \end{gathered}$\begin{gathered} \rho_{q}^{i}=M^{i}c_{q}^{i} \\ X_{q}^{i}=\frac{c_{q}^{i}}{c_{q}} \\ Y_{q}^{i}= \frac{\rho_{q}^{i}}{\rho_{q}} \end{gathered}

由上述关系可以得出这些平衡比率的关系

$K_{q^{i}p^{j}}^{\rho}=K_{q^{i}p^{j}}^{c}=\frac{c_{q}} {c_{p} }K_{q^{i}p^{j}}^{x}=\frac{\rho_{q}}{\rho_{p}}K_{q^{i}p^{j}}^{y}$K_{q^{i}p^{j}}^{\rho}=K_{q^{i}p^{j}}^{c}=\frac{c_{q}} {c_{p} }K_{q^{i}p^{j}}^{x}=\frac{\rho_{q}}{\rho_{p}}K_{q^{i}p^{j}}^{y}

Fluent 中提供了三种模型对 $K_{q^{i}p^{j}}^{x}$K_{q^{i}p^{j}}^{x} 进行计算，分别是 Raoult's Law 、Henry's Law 及 Equilibrium Ratio。

以 Raoult's Law 为例，在气液体系中，平衡关系通常用气相中物质的分压（partial pressure）来表示。当纯液体与含有其蒸汽的气体混合物接触时，当蒸汽的分压等于其饱和压力（saturation pressure）时，就会发生动态平衡传质。Raoult's Law 将这一表述推广到与气体接触的理想液体混合物。假定 $p$p 相为气相， $q$q 相为液相，则

$P_{p}^{j}=P_{sat}^{j}X_{q,e}^{i}$P_{p}^{j}=P_{sat}^{j}X_{q,e}^{i}

其中， $P_{p}^{j}$P_{p}^{j} 为 $p$p 相中物质 $j$j 的分压， $P_{sat}^{j}$P_{sat}^{j} 为气物质的饱和压力。若气体为理想气体，根据 Dalton's law of partial pressure 可得

$P_{p}^{j}=X_{p,e}^{j}P$P_{p}^{j}=X_{p,e}^{j}P

其中， $P$P 为气体总压力。将上述两式联立，可得到于摩尔质量平衡关系 $X_{q,e}^{i}=K_{q^{i}p^{j}}^{x}X_{p,e}^{j}$X_{q,e}^{i}=K_{q^{i}p^{j}}^{x}X_{p,e}^{j} 相同的形式，即

$X_{q,e}^{i}=\frac{P}{P_{sat}^{j}}X_{p,e}^{j}$X_{q,e}^{i}=\frac{P}{P_{sat}^{j}}X_{p,e}^{j}

至此，可以得知 $K_{q^{i}p^{j}}^{x}=\frac{P}{P_{sat}^{j}}$K_{q^{i}p^{j}}^{x}=\frac{P}{P_{sat}^{j}} 。

2.3 two-resistance 模型

Fluent 中采用 two-resistance 模型对上述相间物质传质系数 $k_{pq}$k_{pq} 进行计算。在两相处于动态平衡时，相浓度存在不连续的情况下，通常不可能用单一的总传质系数来描述多组分物种的传质过程。而 two-resistance 模型类似于热阻计算模型，它考虑了在相界面两侧具有不同传质系数。

假设有一种物质可以溶解于 $q$q 相与 $p$p 相，其在两相中的质量分数分别为 $c_{q}^{i}$c_{q}^{i} 与 $c_{p}^{j}$c_{p}^{j} ，其中相界面用 $s$s 表示。通常来说，模型将传质现象分解为三步：

1、物种组分 $i$i 从 $q$q 相中进入界面 $s$s ；

2、物种组分 $i$i 在界面 $s$s 中运输，并被判定为物种组分 $j$j ；

3、物种组分 $j$j 从界面 $s$s 中进入 $p$p 相。

在上述步骤中存在两个重要假设：

1、物质在两相之间的传递速率由界面两侧各相的扩散速率控制；

2、物质在界面上的传递在瞬间完成（可近似为没有运输阻力），因此在相界面物理过程视为动态平衡。

换句话说，在两相之间存在着两种“阻力”，即物质在相与界面间运输时会受到阻力，如下图所示

根据第一节中提到的传质源项计算公式可得

从界面 $s$s 到 $q$q 相的相质量交换体积率为

$\dot{m}_{q^{i}}=k_{q}A_{i}\Big(\rho_{q,s}^{i}-\rho_{q}^{i}\Big)=k_{q}A_{i}M_{i}\Big(c_{qs}^{i}-c_{q}^{i}\Big)$\dot{m}_{q^{i}}=k_{q}A_{i}\Big(\rho_{q,s}^{i}-\rho_{q}^{i}\Big)=k_{q}A_{i}M_{i}\Big(c_{qs}^{i}-c_{q}^{i}\Big)

从界面 $s$s 到 $p$p 相为

$\dot{m}_{p^{j}}=k_{p}A_{i}\Big(\rho_{p,s}^{j}-\rho_{p}^{j}\Big)=k_{p}A_{i}M_{j}\Big(c_{p,s}^{j}-c_{p}^{j}\Big)$\dot{m}_{p^{j}}=k_{p}A_{i}\Big(\rho_{p,s}^{j}-\rho_{p}^{j}\Big)=k_{p}A_{i}M_{j}\Big(c_{p,s}^{j}-c_{p}^{j}\Big)

在相界面动态平衡条件下，由质量守恒定律可得

$\dot{m}_{q^{i}}+\dot{m}_{p^{j}}=0$\dot{m}_{q^{i}}+\dot{m}_{p^{j}}=0

在界面处，由上节提到的密度平衡关系 $\rho_{q,e}^{i} =K_{q^{i}p^{j}}^{\rho}\rho_{p,e}^{j}$\rho_{q,e}^{i} =K_{q^{i}p^{j}}^{\rho}\rho_{p,e}^{j} 带入守恒式，可以计算得到界面运输物质密度：

$\frac{\rho_{q,s}^{i}}{K_{q^{i}p^{j}}^{\rho}}=\rho_{p,s}^{j}=\frac{k_{q}\rho_{q}^{i}+k_{p}\rho_{p}^{j}}{K_{q^{i}p^{j}}^{\rho}k_{q}+k_{p}}$\frac{\rho_{q,s}^{i}}{K_{q^{i}p^{j}}^{\rho}}=\rho_{p,s}^{j}=\frac{k_{q}\rho_{q}^{i}+k_{p}\rho_{p}^{j}}{K_{q^{i}p^{j}}^{\rho}k_{q}+k_{p}}

将上述表达式与物种传质速率公式联立，并将密度进行替换后可得

$\dot{m}_{p^{i}q^{j}}=k_{pq}A_{i}\Big[K_{q^{i}p^{j}}\rho_{p}^{j}-\rho_{q}^{i}\Big]=\dot{m}_{q^{j}}=-\dot{m}_{p^{i}}$\dot{m}_{p^{i}q^{j}}=k_{pq}A_{i}\Big[K_{q^{i}p^{j}}\rho_{p}^{j}-\rho_{q}^{i}\Big]=\dot{m}_{q^{j}}=-\dot{m}_{p^{i}}

最终可以得到

$\frac{1}{k_{pq}}=\frac{1}{k_{q}}+\frac{K_{q^{i}p^{j}}^{\rho}}{k_{p}}$\frac{1}{k_{pq}}=\frac{1}{k_{q}}+\frac{K_{q^{i}p^{j}}^{\rho}}{k_{p}}

对于相的传质系数 $k_p$k_p 和 $k_q$k_q 可以通过实验（在 Fluent 中直接指定为常数）以及其他模型确定，例如由 $k_{q}=\frac{\mathrm{Sh}_{q}D_{q}}{L_{q}}$k_{q}=\frac{\mathrm{Sh}_{q}D_{q}}{L_{q}} 进行计算。

其中， $D_{q}$D_{q} 为 $q$q 相中的扩散系数， $\mathrm{Sh}_{q}$\mathrm{Sh}_{q} 为 Sherwood 数， $L_{q}$L_{q} 为特征长度（如气泡或液滴直径）。

此外，也可以在界面的一侧指定零阻抗条件，即 $k_{q}{\rightarrow}\infty$k_{q}{\rightarrow}\infty ，这相当于一个无限大的相比传质系数。其作用是迫使界面浓度与 $q$q 相中的体积浓度相同。