题记：
在中国，就数学软件使用者数目而言， Matlab 一直是占领着高地。这与 Matlab 优秀的数值计算和处理大数据的能力密不可分，还有一个关键原因就是中国用户多，交流环境良好。尺有所长，寸有所短，对于数学软件而言也是如此。比如就符号计算能力而言，Matlab显得相对不足，这时候恐怕要推荐一下 Maple或者 Mathematica。在使用软件的过程中，笔者发现很多人拿着一方的优势去有意贬低另外一个软件的不足，我认为大可不必，作为使用者不必拘泥，可以依据实际情况各取所需，为我所用。
本文就抛转引玉，介绍下maple软件通用的一些使用方法，以及使用Maple 求解旅行推销员相关问。Maple 是1982年加拿大Waterloo大学开发的一个符号运算和数值计算软件平台。之后几乎每年都进行发布新版本，目前最新的版本是2019年三月发布的Maple 2019。它在处理数学相关问题相当出色和专业。结合Maple软件学习数学也会增加相应的乐趣。
首先这里针对Maple初学者可能遇到疑惑的点解释一下:为什么有的命令输入可以起作用，有的命令明明输入了怎么也不起作用。
比如想画一个各占1/3的饼状图。我们查到命令: PieChart([1, 2, 3])。输入之，很不幸你将会看到原样输出。这是为什么？
原因分析: Maple将一些专业性较强的关联紧密的函数命令集成到各种包里。如线性代数相关的 (典型的如求特征值，行列式) 就放到LinearAlgebra 包里，统计相关的就放在Statistics 包里。你使用内置命令之前需要查帮助文档（输入相关命令按F2）看看是不是在某个包里。上面说的函数PieChart 就在Statistics 包里。最直接的办法是添加with( Statistics): 效果图如下:
.gif)
言归正传，图是一类重要的数据结构，图论是研究图的一门学科。可以利用Maple进行图论的研究。当然也有的人用其绘制精美的图论里的图。注意：Maple 里的图不支持含重边和环边。
图论相关的放在GraphTheory 和 SpecialGraphs 包里，分别有197和 79 个函数命令。 还有一个是networks 包，不过这个包已经停止更新和维护，属于将被弃用的状态。Maple之所以保留并可以使用，估计Maple开发者有恋旧的美好情怀。
旅行推销员问题 (英语：travelling salesman problem, TSP）是这样一个问题：给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解访问每一座城市一次并回到起始城市的最短回路。它是组合优化中的一个NP困难问题，在运筹学和理论计算机科学中非常重要。
一个判定问题（答案只有是或者否）属于NP 当且仅当这个问题是非确定型多项式时间可计算的。若NP问题类任何一个问题均可在多项式时间内转成问题A, 称 问题A 是NP 困难问题。说句人话就是这个问题本身比较复杂，随着问题规模越大，即使再强大的计算机也几乎无法求解。这时候规模大时候往往寻求近似解。
旅行推销员问题在图论中的一个等价形式是：给定一个加权完全图（顶点表示城市，边表示道路，权重就会是道路的成本或距离）, 求一权值最小的哈密尔顿回路。
下面举一个现在看起来疯狂的例子。
大学毕业生小张准备骑自行车进行毕业旅行，出发地武汉，到南京，成都，合肥，西安，四个城市旅游，最后回到武汉。模型假设我们将五个城市视为图的5个定点，他们的直接距离是图的权重。上面城市分别记为1，2，3，4，5.
首先我们可以利用Wolfram Mathematica 联网功能一次性求出它们之间的距离。
.gif)
我们利用上面的距离数据在 Maple 里通过下列方式构建下面的图：
restart;
with(GraphTheory):
# 5个城市, 问题归结于在一个完全赋权图找一个最优Hamilton 圈.
distanceofcities:= Matrix(5, {(1, 2) = 459.149, (1, 3) = 977.647,
(1, 4) =319.501,(1,5)=649.843,(2,3)=1406.79,(2,4)=143.539,(2,5)=953.511,
(3,4)= 1264.16,(3,5)=604.452,(4,5)=827.082 }, fill = 0, shape = symmetric): # 定义赋权矩阵distanceofcities
travelcities:=Graph(distanceofcities): # 通过赋权矩阵构成的完全赋权无向图travelcities
DrawGraph(travelcities,stylesheet= [vertexborder = false, vertexpadding = 15,edgecolor="blue", vertexcolor="Gold",
edgethickness=5], font=["Courier",10], size=[400,400]);
然后利用内置命令求解：
t:=time[real]():
TravelingSalesman(travelcities);s
'time'=time[real]()-t; #记录运行时间
运行结果如下:
(*结果解读如下：选择路线为武汉->合肥->南京->西安->成都->武汉，总行程2998.65公里。运行时间是0.051秒。*)
如果此时我们将城市扩大到10个，并考虑有时候由于地理条件的诸多原因两地往返的路选择未必一样。也就是往返选择的路的距离未必一致，这时侯考虑的就是有向图了。Maple 照样可以处理。
n:=10:
A1:= Matrix(n, (i,j)->`if`(i=j,0,n*(n-i)^4+2*j+(n-i)^2+j^3));
# A1 赋权矩阵
G1:=Graph(A1):
t:=time[real]():
TravelingSalesman(G1);
'time'=time[real]()-t;
运行结果是
这时我们会发现内置命令为56.79300 秒，时间已经算多的了，有人会问我们有希望自己编写的代码比内置命令更节省时间吗？很多情况的确是可以幸运地做到的。下面的方面是把每个路线方法（共 10！/2= 1814400 种）进行比较。从方法上感觉很笨。
n:=10:
P:=Iterator:-Permute([seq(2..n)]):
cmin:=infinity: ord:= <"none">:
for v in P do
f:=add(A1[v[k],v[k+1]],k=1..n-2) + A1[1,v[1]]+A1[v[n-1],1];
if f<cmin then cmin:=f; ord:=copy(v) fi;
od:
cmin;tour:=[1, entries(ord,'nolist',indexorder),1];
'time'=time[real]()-t;
HighlightTrail(G1, tour, red);
DrawGraph(G1, style = circle);
运行结果如下：
.gif)
得到了相同的结果，但是令人惊讶的是时间却是1.775秒，远远小于内置方法。 其中原因估计有二：第一我们没有采用真正意义上的暴力计算，而是巧妙地采用所谓惰性计算方法-迭代，这里主要体现在：
P:=Iterator:-Permute([seq(2..n)]): 。
第二点，我们考察 Maple 里TravelingSalesman 函数帮助文档用的什么算法，可以看到如下文字： The algorithm is a branch-and-bound algorithm using the Reduce bound (see Kreher and Stinson, 1999).
于是我们知道主要采用分支定界算法，这个方法有时候搞不好枝搞地很多，将会花费很多时间去剪枝，有时候反而不如直接比较的方法来的快。所以说我们也不能过度依赖内置函数去处理问题，而是依据实际情况进行合理的处理。
至于较大规模的旅行销售员问题的近似计算，有兴趣地找找相关文献读读。
最后，如果大家有matlab/maple/mathematica相关算法问题，可以通过我们的微信公众号联系我们。
微信公众号：320科技工作室。
技术文档
热门文章
155-2731-8020