有限元分析中的沙漏现象：原理与控制方法

在有限元分析中，沙漏现象是一种常见但需要特别注意的非物理零能变形模式，或简而言之有变形没有应力或应变。

沙漏现象的出现可能会导致计算结果不准确甚至无效，因此需要采取控制措施。

本文将深入探讨沙漏现象的定义、识别方法以及控制方法，为有限元分析中的工程师提供指导和帮助。

1. 什么是沙漏？

在有限元分析中，一般以节点的位移作为基本变量，单元内节点的位移以及应变均采用形函数对各点位移进行插值计算得到。

应力根据本构方程由应变计算得到，然后通过积分计算单元的内能。

如果采用单点积分（积分点在等参元中心），在某些情况下节点位移不为零，即单元有形变，但插值得到的应变却为零。

比如，一个正方体单元变形为等腰梯形，节点位移相等却方向相反，各点的形函数为零，所以插值结果为零，这样内能计算结果也为零，即计算认识单元没有变形，与事实相左。

LS-DYNA 里的 Hourglass 现象基本上只发生在单点积分的单元里。

举例来说，考虑一个由四个边构成的壳单元。这个单元只有一个积分点，而这四个边只需环绕着这个积分点即可。具体说，无论这四个边的形状是正方形、菱形，还是其他创意形状，积分点都是固定的。然而，在计算过程中，如果开始时形状是长方形，而后在变形过程中却变成了其他奇异形状，这很可能是产生了Hourglass现象的迹象。

2.如何判断是否出现沙漏模式？

方法一： 查看单元变形过程。如果有单元变形明显异常，或有单元变成交替出现的梯形形状，一般是出现沙漏模式。

方法二：查看沙漏能在总内能中所占比例。当沙漏能约占总内能的 1% 时，表明沙漏模式对计算结果的影响不大;当其超过总内能的 10% 时，分析就是无效的，必须采取措施加以解决。

3.控制沙漏的方法

Hourglass 可通过引入内部节点力来控制，相关的关键字有CONTROL Hourglass,*Hourglass 等，但是这就有了另一个问题，既然是人为的引用了节点力，那么这个人为的力所产生的能量(Hourglass energy)就得越小越好，一般要求沙漏能要小于总能量的 5% 才认为结果是可靠的。

能量之间是可以转化的。但是，对于动力学问题，总能量一般是不变的，也就是能量守恒原理。沙漏模式也就是零能模式在理论上是存在的，大多数实际的模型中是不可能的。

零能模式是指有变形，但不消耗能量。显然，这是一种伪变形模式，若不加以控制，计算模型会变得不稳定，并且计算出来的结果是没有意义的。

要抵制这种变形模式就需要消耗一定的能量，也就是沙漏能。

如果，这个比值太多，就说明计算模型与实际模型的变形有很大差距，当然结果也就是不正确的。这也是使用缩减积分所付出的代价。

用完全积分单元可以解决这个问题，但是计算效率不高，还有可能导致单元锁死，过刚度等问题。